Teorija

Praksē bieži lieto funkcijas, kuru vērtību modulis neierobežoti palielinās, kad xa, t.i. šīs vērtības pēc moduļa kļūst lielākas par jebkuru pozitīvu skaitli. Piemēram, fx=1x. Šādos gadījumos saka, ka funkcija ir "bezgalīgi liela" vai arī, ka "funkcijas robeža ir bezgalība", un raksta limf(x)xa=.
Lasa - "funkcijas \(f(x)\) robeža, \(x\) tiecoties uz skaitli \(a\), ir bezgalība".
Funkcijas \(f(x)\) robeža ir bezgalība, kad xa,  ja katram pozitīvam skaitlim M var atrast tādu pozitīvu skaitli δ, ka ar visām tām \(x\) vērtībām, kurām 0<xa<δ, ir spēkā nevienādība f(x)>M.
Lietojot matemātiskās loģikas simbolus, definīciju var pierakstīt saīsināti:
limf(x)xa=M>0δ>0, ka x, kuriem 0<xa<δ, ir f(x)>M.
Tas nozīmē, ka jebkuram pēc patikas lielam skaitlim \(M\) būs konstruējams intervāls ap skaitli \(a\), no kura ņemts arguments dos vēl lielāku funkcijas vērtības moduli par \(M\).
 
Dažkārt simbola  priekšā raksta plusa vai mīnusa zīmi. Ja funkcija ir bezgalīgi liela un kādā punkta \(a\) apkārtnē funkcijai ir tikai pozitīvas vērtības, tad raksta limf(x)xa=+. Analogi saprot pierakstu limf(x)xa=.
Konstruējot bezgalīgi lielas funkcijas grafiku, ir lietderīgi caur punktu a novilkt \(Oy\) asij paralēlu taisni. Šādu taisni sauc par funkcijas grafika vertikālo asimptotu.
 
pic2.svg
 
Simbolu nozīme:
  - "katram" (universiālkvantors),
  - "eksistē" (eksistences kvantors).
 
Vidusskolas standartā ir prasība pierādīt robežas eksistenci ar robežas definīciju.
Piemērs:
Lietojot bezgalīgi lielas funkcijas definīciju, pierādi, ka limx43x4= 
M>0,δ>0:0<x4<δ3x4>M3x4>M1x4>M3x4<3M
 
Redzam, ka esam atraduši \(M\) atbilstošu δ=3M.
Līdz ar to ir pierādīts, ka 
M>0,δ>0:0<x4<δ=3M3x4>M
Tātad limx43x4=.
 
Atsauce:
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 1. daļa. Zvaigzne ABC. 56. - 57. lpp.
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja