Ārējais leņķis. Pierādījums formulai — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna tēma

"Atvasinājums un tā lietojums"

Ārējais leņķis

Leņķi, kura virsotne atrodas ārpus riņķa un tā malas krusto riņķa līniju vai arī viena vai abas malas pieskaras riņķa līnijai, sauc par šīs riņķa līnijas ārējo leņķi.

Teorēma. Ārējā leņķa lielums ir vienāds ar pusi no to divu loku leņķisko lielumu starpības, kuri atrodas starp leņķa malām.

Ārējais leņķis var būt dots trīs dažādos veidos.

1) Ārējo leņķi var veidot divas sekantes.

\(\sphericalangle A = \)

\frac{1}{2} (\cup BC - \cup DE)

YCUZD_221014_4532_Leņķi un nogriežņi riņķī_ārējaissekantesdaudzburti.svg

2) Ārējo leņķi var veidot divas pieskares.

\(\sphericalangle A = \)

\frac{1}{2} (\cup BkC - \cup BC)

3) Ārējo leņķi var veidot viena sekante un pieskare.

\(\sphericalangle A = \)

\frac{1}{2} (\cup BC - \cup BD)

Pierādīsim teorēmu gadījumam, kad ārējo leņķi veido divas sekantes.

Dots:

∢ ABC

Jāpierāda:

∢ ABC = \frac{1}{2} (\cup AC - \cup DE)

Pierādījums

∢ ADC = ∢ C + ∢ ABC

kā trijstūra \(DBC\) ārējais leņķis.

Tātad

∢ ABC = ∢ ADC - ∢ C

Ievilkta leņķa lielums ir vienāds ar pusi no tā loka leņķiskā lieluma, uz kura tas balstās.

\begin{array}{l} ∢ ABC = \frac{1}{2} \cup AC - \frac{1}{2} \cup DE \\ ∢ ABC = \frac{1}{2} (\cup AC - \cup DE) \end{array}

Tas bija jāpierāda.

Pamēģini abiem pārējiem ārējo leņķu gadījumiem pierādīt, ka ārējā leņķa lielums ir vienāds ar pusi no to divu loku leņķisko lielumu starpības, kuri atrodas starp leņķa malām.

1) Izmanto trijstūra \(ABC\) ārējā leņķa īpašību.