Ievilkts leņķis
Leņķi, kura virsotne atrodas uz riņķa līnijas, bet malas krusto riņķa līniju, sauc par riņķa līnijā ievilktu leņķi (zīm. \(\sphericalangle ASB\)).
Ievilkta leņķa malas riņķa līnijas iekšpusē ir hordas.
Saka: ievilkts leņķis balstās uz loka, kas atrodas starp tā malām. Zīmējumā ievilkts leņķis \(ASB\ \)balstās uz loka \(AkB.\)
Teorēma. Ievilkta leņķa lielums ir vienāds ar pusi no tā loka leņķiskā lieluma, uz kura tas balstās.
Lai teorēmu pierādītu, jāaplūko trīs gadījumi:
- riņķa līnijas centrs atrodas uz ievilktā leņķa malas;
- riņķa līnijas centrs atrodas ievilktā leņķa iekšpusē;
- riņķa līnijas centrs atrodas ārpus ievilktā leņķa.
1. gadījums.
Riņķa līnijas centrs atrodas uz ievilktā leņķa \(BSA\) malas.
Savienojot punktus O un B, iegūst vienādsānu trijstūri \(OBS\), leņķis \(BOA\) ir tā ārējais leņķis*, tāpēc .
Tā kā , tad
Tātad ievilktais leņķis ir uz pusi mazāks nekā centra leņķis.
Mēs zinām, ka
Centra leņķa lielums ir vienāds ar tam atbilstošā riņķa līnijas loka leņķisko lielumu:
.
Tāpēc ievilktais leņķis .
Tas bija jāpierāda.
2. un 3. gadījumu pierādi patstāvīgi.
*Atkārtosim teorēmu par trijstūra ārējā leņķa īpašību un tās pierādījumu.
Teorēma. Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar to divu iekšējo leņķu summu, kas nav tam blakus.
Trijstūrī \(ABC\) (zīmējumā, zemāk) .
Taču arī šī trijstūra ārējais leņķis , kā blakusleņķis.
