Nenoteiktā integrāļa īpašības — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

Funkcijas \(f(x)\) visu primitīvo funkciju kopu \(F(x)+C\) kādā intervālā sauc par šīs funkcijas nenoteikto integrāli.

Nenoteikto integrāli apzīmē ar simbolu

\int f (x) dx

. Funkciju

f (x)

sauc par zemintegrāļa funkciju, izteiksmi

f (x) dx

- par zemintegrāļa izteiksmi. Tātad

\int f (x) dx = F (x) + C

Nenoteiktā integrāļa eksistences nosacījums

Ja funkcija kādā intervālā ir nepārtraukta, tad šajā intervālā tai eksistē primitīvā funkcija, tātad eksistē nenoteiktais integrālis.

Nenoteiktā integrāļa īpašības

1. īpašība

Nenoteiktā integrāļa atvasinājums vienāds ar zemintegrāļa funkciju:

{(\int f (x) dx)}^{'} = f (x)

Pierādījums. Saskaņā ar primitīvās funkcijas definīciju

{(\int f (x) dx)}^{'} = {(F (x) + C)}^{'} = f (x)

2. īpašība. Konstanta reizinātāja iznešana pirms integrāļa zīmes

Ja zemintegrāļa funkcija ir kādas funkcijas un konstantes \((A)\) reizinājums, tad konstanti var iznest pirms integrāļa zīmes:

\int A \cdot f (x) dx = A \cdot \int f (x) dx

Pierādījums.

Vienādības labās puses atvasinājums ir kreisās puses zemintegrāļa funkcija, jo pēc 1. īpašības

{(A \cdot \int f (x) dx)}^{'} = A {(\int f (x) dx)}^{'} = A \cdot f (x)

3. īpašība. Nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašība

Divu vai vairāku funkciju summas (starpības) nenoteiktais integrālis ir vienāds ar atsevišķo saskaitāmo funkciju integrāļu summu (starpību):

\int (f_{1} (x) \pm f_{2} (x)) dx = \int f_{1} (x) dx \pm \int f_{2} (x) dx

Piemērs:

1) \int (x + x^{2}) dx = \int x dx + \int x^{2} dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + C

\begin{array}{l} 2) \int 6 dx = 6 \int dx = 6 x + C \\ 3) \int \frac{6}{x^{2}} dx = 6 \cdot \int x^{- 2} dx = 6 \cdot \frac{x^{- 1}}{- 1} + C = - \frac{6}{x} + C \end{array}

4) \int 3 \sqrt{x} dx = 3 \cdot \int x^{\frac{1}{2}} dx = 3 \cdot \frac{x^{1 \frac{1}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 2 x \sqrt{x} + C

Atradi kļūdu?

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

3. Nenoteiktā integrāļa īpašības