27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Matemātikā ļoti svarīga darbība ir atvasināšana. Taču ne mazāk nozīmīga ir atvasināšanas apgrieztā darbība. Iepriekš jau bija pazīstamas matemātiskās darbības un to apgrieztās darbības, piemēram, saskaitīšanas apgrieztā darbība ir atņemšana, reizināšanas - dalīšana.
 
Aplūkosim divus uzdevumus, kuros veicamās darbības ir pretējas.
1) Nosaki funkcijas F(x)=x3 atvasinājumu!
Atbilde: Atvasinājums ir F(x)=3x2.
 
2) Nosaki funkciju, kuru atvasinot, iegūst fx=3x2.
Atbilde: Jāatvasina funkcija F(x)=x3.
Ja visiem \(x\) no kāda intervāla ir spēkā vienādība F(x)=fx, tad funkciju \(F(x)\) sauc par funkcijas \(f(x)\)  primitīvo funkciju šajā intervālā.
Tātad F(x)=x3 ir funkcijas fx=3x2 primitīvā funkcija.
 
Teikums: "Nosaki funkciju, kuru atvasinot, iegūst fx=3x2", nozīmē - nosaki funkcijas fx=3x2 primitīvo funkciju!
 
Piemērs:
Nosaki funkcijas fx=10x4 primitīvo funkciju \(F(x\))!
  
Mums ir jāzina, kādu funkciju atvasinot var iegūt \(x\) ceturto pakāpi.
x5=5x4.
Redzam, ka koeficients dotajai funkcijai ir \(2\) reizes lielāks. 
 
Izdaram pārveidojumus:
fx=10x4=25x4¯=2x5¯=2x5
 
Tātad \(f(x)\) primitīvā funkcija F(x)=2x5.
Pārbaude:
Fx=2x5=25x4=10x4=f(x)
Lai ērtāk būtu atrast pakāpes primitīvo funkciju, iegūsim pakāpes funkcijas formulu vispārīgā veidā.
Izmantojam pakāpes atvasināšanas formulu:
xα=αxα1
 
Ja f(x)=αxα1F(x)=xα
 
Tātad
f(x)=αxα1αF(x)=xααf(x)=xα1F(x)=xαα
jeb
f(x)=xαF(x)=xα+1α+1,α1
 
Piemērs:
Izmantojot formulu, atrodi funkcijas fx=x6 primitīvo funkciju!
Pēc formulas Fx=x6+16+1=x77.
Pārbaude: 
x77=177x6=x6Fx=f(x)
Tomēr pastāv problēma, ka iegūtā funkcija nav vienīgā primitīvā funkcija.
Atvasināsim sekojošas izteiksmes:
x77+3=77x6+0=x6x775=77x60=x6x77+C=77x6+0=x6
 
Redzam, ka katra no šīm izteiksmēm der par funkcijas fx=x6 primitīvo funkciju.
Ja \(F(x)\) ir funkcijas \(f(x)\) primitīvā funkcija kādā intervālā, tad \(F(x)+C\) arī ir funkcijas \(f(x)\) primitīvā funkcija šajā intervālā.
Vispārīgā gadījumā funkcijai fx=x6 ir bezgalīgi daudz primitīvās funkcijas, tās visas atšķiras ar konstantu saskaitāmo.
F(x)=x77+C,jox77+C=77x6+0=x6
Funkcijas \(f(x)\) visu primitīvo funkciju kopu \(F(x)+C\) kādā intervālā sauc par šīs funkcijas nenoteikto integrāli un apzīmē ar simbolu fxdx, lasa: " funkcijas f(x) integrālis".  Funkcijas primitīvās funkcijas atrašanu sauc par integrēšanu. \(C\) sauc par integrācijas konstanti.
Pēc definīcijas: fxdx=F(x)+C.
Piemērs:
3x2dx=x3+C10x4dx=2x5+Cx6dx=x77+C 
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 3.- 5. lpp.