Plaknes figūras laukums, ja funkcija maina zīmi — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

Aplūkosim, kā aprēķina plaknes figūras laukumu ar noteiktā integrāļa palīdzību, situācijā, ja funkcijas vērtības intervālā maina zīmi.

Ja intervālā \([a;d]\) funkcijas vērtības maina zīmi, tad atrisinot vienādojumu \(f(x)=0\), atrod grafika un \(Ox\) ass krustpunktu abscisas.

Zīmējumā doto laukumu var aprēķināt sekojoši:

S_{ad} = S_{ab} + S_{bc} + S_{cd} = \int_{a}^{b} f (x) dx + |\int_{b}^{c} f (x) dx| + \int_{c}^{d} f (x) dx

vai arī

S_{ad} = S_{ab} + S_{bc} + S_{cd} = \int_{a}^{b} f (x) dx - \int_{b}^{c} f (x) dx + \int_{c}^{d} f (x) dx

Piemērs:

Aprēķini laukumu figūrai, ja to ierobežo līnijas

y = \frac{1}{2} x

, \(y=0\), \(x=-3\), \(x=5\).

Risinājums.

Vispirms skicē grafiku un izvēlas atbilstošo figūru.

Laukumu rēķina:

S = - \int_{- 3}^{0} \frac{1}{2} xdx + \int_{0}^{5} \frac{1}{2} xdx

vai arī

S = \int_{0}^{5} \frac{1}{2} xdx - \int_{- 3}^{0} \frac{1}{2} xdx

Lai izvairītos no daudzām mīnusa zīmēm, izvēlamies lietot pierakstu ar moduli:

\begin{array}{l} S = |\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2} xdx| + \int_{0}^{5} \frac{1}{2} xdx = |\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} xdx| + \frac{1}{2} \int_{0}^{5} xdx \\ = |\frac{x^{2}}{4}| \begin{array}{l} 0 \\ - 3 \end{array}| + \frac{x^{2}}{4}| \begin{array}{l} 5 \\ 0 \end{array} = \\ = |- \frac{9}{4} - 0| + \frac{25}{4} - 0 = \frac{34}{4} = 8 \frac{1}{2} \end{array}

Šo rezultātu viegli pārbaudīt, jo prasīto laukumu veido divi taisnleņķa trijstūri, kuru laukums ir katešu reizinājuma puse:

S = S_{1} + S_{2} = \frac{1}{2} (3 \cdot \frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{5}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{34}{2} = 8 \frac{1}{2}

Atbilde: Ierobežotās figūras laukums ir

8 \frac{1}{2}

laukuma vienības.

Ieteikums.

Tad, kad figūru laukumi ir sarežģītāki, atbildi var pārbaudīt aptuveni, saskaitot iezīmētās figūras laukuma vienības.

Atradi kļūdu?

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

4. Plaknes figūras laukums, ja funkcija maina zīmi