Teorija

Aplūkosim, kā aprēķina plaknes figūras laukumu ar noteiktā integrāļa palīdzību, situācijā, ja funkcijas vērtības intervālā maina zīmi.
  
Funkcija3.svg
 
Ja intervālā \([a;d]\) funkcijas vērtības maina zīmi, tad atrisinot vienādojumu \(f(x)=0\), atrod grafika un \(Ox\) ass krustpunktu abscisas.
Zīmējumā doto laukumu var aprēķināt sekojoši:
 
Sad=Sab+Sbc+Scd=abf(x)dx+bcf(x)dx+cdf(x)dx
vai arī
Sad=Sab+Sbc+Scd=abf(x)dxbcf(x)dx+cdf(x)dx 
Piemērs:
Aprēķini laukumu figūrai, ja to ierobežo līnijas y=12x,  \(y=0\),  \(x=-3\),  \(x=5\).
Risinājums.
Vispirms skicē grafiku un izvēlas atbilstošo figūru.
Taisne_virs_un_zem_x_ass.svg
Laukumu rēķina:
 S=3012xdx+0512xdx vai arī S=0512xdx3012xdx.
 
Lai izvairītos no daudzām mīnusa zīmēm, izvēlamies lietot pierakstu ar moduli:
S=3012xdx+0512xdx=1230xdx+1205xdx=x2403+x2450==940+2540=344=812
 
Šo rezultātu viegli pārbaudīt, jo prasīto laukumu veido divi taisnleņķa trijstūri, kuru laukums ir katešu reizinājuma puse:
 
S=S1+S2=12332+552=12342=812.
 
Atbilde: Ierobežotās figūras laukums ir 812 laukuma vienības.
Ieteikums.
Tad, kad figūru laukumi ir sarežģītāki, atbildi var pārbaudīt aptuveni, saskaitot iezīmētās figūras laukuma vienības.
 
Atsauce:
 
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Kriķis D., Šteiners K., Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 2. daļa, Rīga: Zvaigzne ABC, 2018, 42. lpp.