Teorija

Aplūkosim, kā aprēķina plaknes figūras laukumu ar noteiktā integrāļa palīdzību situācijā, ja figūru ierobežo divu funkciju grafiki.
 
Funkcija1.svg
1. att.
Ja figūru ierobežo divu vai vairāku funkciju grafiki \(f(x)\) un \(g(x\)), vispirms atrod doto funkciju grafiku krustpunktu abscisas. Atrisina vienādojumu \(f(x)=g(x\)), iegūstot saknes x1=a,x2=b.
 
Iesvītrotās figūras laukumu var izteikt kā divu līklīnijas trapeču laukumu starpību:
Sab=abf(x)dxabg(x)dx=abf(x)g(x)dx.
Likums ir spēkā arī tad, ja abas funkcijas ir negatīvas (2.att.) vai viena no funkcijām ir negatīva (3. att.) vai arī kāda funkcija šajā intervālā maina zīmi (4. att.).
 
gr3.svg
2.att.
 
gr2.svg
3. att.
Piemērs:
Aprēķini figūras laukumu, ja figūru ierobežo taisne y=2x6 un parabola y=3xx2.
Risinājums.
Vispirms skicē funkciju grafikus un izvēlas ierobežoto apgabalu.
Funkcija4.svg
4. att.
Lai iegūtu funkciju grafiku krustpunktu koordinātas, atrisina vienādojumu:
2x6=3xx2x2x6=0x=2;x=3
 
Figūras laukumu rēķina kā divu integrāļu starpību vai arī uzreiz raksta kā integrāli no funkciju starpības:
S=233xx2dx232x6dx
 
Izdevīgāk rēķināt integrāli no funkciju starpības, jo tad, pirms integrēšanas, var savilkt līdzīgos saskaitāmos.
S=233xx22x6dx==23xx2+6dx=x22x33+6x32==92273+18428312==929+18283+12==19+412(3223(2==19+396246=2056
 
Atbilde: Figūras laukums ir 2056 laukuma vienības.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Kriķis D., Šteiners K., Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 2. daļa, Rīga: Zvaigzne ABC, 2018, 44. lpp.