27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Tilpums kā ķermeņa paralēlu šķēlumu funkcijas integrālis
 
Līdzīgi kā plaknes figūras laukuma formulu, arī telpiska ķermeņa tilpuma formulu iegūst kā integrālsummas robežu.
 
Pieņemsim, ka mums ir kāds telpisks ķermenis, kurš sākas punktā \(x=a\) un beidzas punktā \(x=b\).
2 (2).svg
No intervāla \([a;b]\) izvēlamies patvaļīgu punktu \(x\) un novelkam \(Ox\) asij perpendikulāru plakni. Iegūstam ķermeņa šķēlumu ar plakni. Ķermeņa šķēluma jeb šķērsgriezuma laukums ir atkarīgs no \(x\) izvēles, tātad tas nav konstants lielums, bet gan funkcija ar argumenta \(x\). Apzīmēsim šķērsgriezuma laukuma funkciju ar \(S(x).\)
1 (2).svg
Ja intervālu \([a;b]\) sadala \(n\) vienādās daļas, iegūst \(n\) šķērsgriezumus un \(n\) joslas (cilindrus). Ja ķermeņa tilpums ir sadalīts pietiekami mazās daļās, var pieņemt, ka ķermeņa tilpums ir vienāds ar šo joslu tilpumu summu. Jo mazākās daļās sadalīts intervāls \([a;b] \), jo tilpums precīzāks. Tāpēc par ķermeņa tilpumu pieņem integrālsummas robežu, kad  Δx0, t.i. noteikto integrāli.
 
Ja ir zināma funkcija, kas apraksta šķērsgriezuma laukumu, var iegūt tilpuma formulu:
 
V=limΔx0i=1nSxiΔxV=abS(x)dx
 
Lai robeža eksistētu, šķēluma laukuma funkcijai \(S(x)\) jābūt nepārtrauktai.
 
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts
Kriķis D., Šteiners K., Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 2. daļa, Rīga: Zvaigzne ABC, 2018, 48. lpp.