27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Tilpums rotācijas ķermenim, kas rodas funkcijas grafikam rotējot ap \(Ox\) asi
 
Pieņemsim, ka kāda figūra, kuru definē funkcija \(f(x) \), rotē ap \(Ox\) asi.
Katrs šīs plaknes laukuma punkts rotē ap \(Ox\) asi un rodas telpiska figūra.
2 (2).svg
 
Aplūkosim stabiņu ar platumu Δx. Šim stabiņam rotējot ap \(Ox\) asi, rodas plāns cilindrs.
1 (2).svg
Jautājums, kāds ir šī cilindra tilpums?
Cilindra tilpums ir augstuma \(H\) un pamata (riņķa) laukuma reizinājums.
Vcil.=HπR2
 
Mūsu gadījumā iegūtā cilindra augstums (biezums) ir Δx un pamata riņķa rādiuss ir \(f(x).\)
Tātad Vcil.=Δxπf2x.
 
Δx visu laiku samazinot, iegūst kādu ļoti mazu tilpuma daļu:
dVcil.=πf2xdx
 
Integrālis ir šādu bezgalīgi mazu tilpuma daļiņu summa, saskaitot visus mazos cilindrus no rotācijas ķermeņa sākuma līdz beigām:
V=x=ax=bdV=abπf2xdx
Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tilpumu aprēķina ar formulu Vx=abπf2xdx.
Ievēro, ka rotācijas ķermeņiem, kurus iegūst rotācijā ap \(Ox\) asi, augstums \(H\) atrodas horizontāli, to nolasa uz \(Ox\) ass.
Piemērs:
Rotācijas ķermenis konstruēts tā, ka rotācijas ass sakrīt ar \(Ox\) asi. Ķermeņa augstums ir \(4\), veidule ir aprakstāma ar funkciju y=2x. Ķermeņa virsotnei atbilst \(x=0\), bet pamatam \(x=4\). Kāds ir rotācijas ķermeņa tilpums?
 
Risinājums.
Izveido skici. \(H=4.\)
2saknesno_centra.svg
Pēc formulas Vx=abπf2xdx.
Tātad
Vx=π042x2dx=π044xdx=π2x240==2π4202=32π
 
Atbilde: Rotācijas ķermeņa tilpums ir 32π tilpuma vienības.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts.