Plaknes figūras laukums, ja funkcija zem x ass — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Aplūkosim piemēru, kā aprēķina plaknes figūras laukumu ar noteiktā integrāļa palīdzību, ja funkcija dotajā intervālā ir mazāka vai vienāda ar nulli.

Ja intervālā \([a;b]\) funkcija

f (x) \leq 0

, tad

S_{ab} = \int_{a}^{b} - f (x) dx = - \int_{a}^{b} f (x) dx = |\int_{a}^{b} f (x) dx|

Piemērs:

Aprēķini laukumu figūrai, ko ierobežo dotās līnijas:

y = x^{2} - 4

, \(y=0\), \(x=1\).

Risinājums.

Vispirms skicē funkcijas grafiku un izvēlas ierobežoto laukumu.

Redzam, ka jāatrod ierobežotās figūras kreisās puses abscisa - funkcijas krustpunkts ar \(Ox\) asi.

Atrod funkcijas

y = x^{2} - 4

saknes, atrisinot vienādojumu:

\begin{array}{l} x^{2} - 4 = 0 \\ x^{2} = 4 \\ x = - 2; x = 2 \end{array}

Tātad ierobežotās figūras kreisās puses abscisa ir \(a=-2\), bet labās puses abscisa ir \(b=1\) (pēc dotā).

Tā kā funkcija intervālā

[- 2; 1]

atrodas zem \(Ox\) ass, tad noteiktā integrāļa priekšā liek mīnusa zīmi. Var lietot arī moduli.

\begin{array}{l} - \int_{- 2}^{1} (x^{2} - 4) dx = - (\frac{x^{3}}{3} - 4 x)| \begin{array}{l} 1 \\ - 2 \end{array} = \\ = - (\frac{1}{3} - 4 - (\frac{- 8}{3} + 8)) = \\ = - (\frac{1}{3} + \frac{8}{3} - 12) = - (3 - 12) = 9 \end{array}

Atbilde: Figūras laukums ir \(9\) laukuma vienības.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Kriķis D., Šteiners K., Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 2. daļa, Rīga: Zvaigzne ABC, 2018, 42.- 43. lpp.

Atradi kļūdu?

3. Plaknes figūras laukums, ja funkcija zem x ass