Teorija

Ar noteikto integrāli var aprēķināt līklīnijas trapeces laukumu.
 
Līklīnijas trapece ir figūra, kuru ierobežo funkcija \(f(x\)), \(Ox\) ass un taisnes \(x=a\) un \(x=b\). Funkcija \(f(x)\) ir nepārtraukta un nenegatīva intervālā \([a;b].\)
 
Aplūkosim biežāk sastopamās situācijas, kādas rodas, aprēķinot plaknes figūras laukumu ar noteiktā integrāļa palīdzību.
 
1. Funkcija dotajā intervālā ir nenegatīva.
 
 21.svg
Ja intervālā \([a;b]\) funkcija fx0, tad Sab=abf(x)dx.
 
 
2. Funkcija dotajā intervālā ir mazāka vai vienāda ar nulli.
Funkcija2.svg
Ja intervālā \([a;b]\) funkcija fx0, tad Sab=abf(x)dx=abf(x)dx=abf(x)dx.
  
3. Funkcija intervālā maina zīmi.
  
Funkcija3.svg
 
Ja intervālā \([a;d]\) funkcijas vērtības maina zīmi, tad atrisinot vienādojumu \(f(x)=0\), atrod grafika un \(Ox\) ass krustpunktu abscisas.
Zīmējumā doto laukumu var aprēķināt sekojoši:
Sad=Sab+Sbc+Scd=abf(x)dx+bcf(x)dx+cdf(x)dx
vai arī
Sad=Sab+Sbc+Scd=abf(x)dxbcf(x)dx+cdf(x)dx
 
  
4. Figūru ierobežo divu funkciju grafiki.
 
Funkcija1.svg
 
Ja figūru ierobežo divu vai vairāku funkciju grafiki \(f(x)\) un \(g(x\)), vispirms atrod doto funkciju grafiku krustpunktu abscisas. Atrisina vienādojumu \(f(x)=g(x\)), iegūstot saknes x1=a,x2=b. Iesvītrotās figūras laukumu var izteikt kā divu līklīnijas trapeču laukumu starpību:
Sab=abf(x)dxabg(x)dx=abf(x)g(x)dx.
 
Šis likums ir spēkā arī tad, ja abas vai viena no funkcijām ir negatīva vai arī šajā intervālā maina zīmi.
 
Nākošās teorijās aplūkosim pēdējo 3 gadījumu piemērus.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Kriķis D., Šteiners K., Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 2. daļa, Rīga: Zvaigzne ABC, 2018, 42.- 43. lpp.