27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Pirms polinomu dalīšanas, ir lietderīgi paskatīties - varbūt doto neīsto algebrisko daļu var saīsināt.
 
Ievēro! Saīsināt var tikai tad, ja nav atlikuma - dalīšanas atlikums ir \(0\). Ja zināms, ka, skaitītāju dalot ar saucēju, ir atlikums, tad saīsināšana nav iespējama.
 
Atlikumu viegli pārbaudīt ar Bezū teorēmu:
Dalot polinomu \(P(x)\) ar binomu \((x-a)\), atlikumā iegūst \(P(a) \), t. i., polinoma vērtību, ja \(x=a\).
 
Piemēram, x2+x12:x3 izdalās bez atlikuma, jo 32+312=0. Pirms sākam polinomu dalīšanu, atceramies kādu no pamatskolas metodēm, kā dalāmo var sadalīt reizinātājos.
Polinomu dalīšana ir universāla metode. Ja vēlies, vari to lietot visos polinomu dalīšanas uzdevumos. Taču ne vienmēr tas būs racionāli.
  
Algebrisko daļu var saīsināt tikai tad, ja tās skaitītājam un saucējam ir kopīgi reizinātāji.
Lai saīsinātu daļu, skaitītāja un/vai saucēja ir polinomu sadala reizinātājos.
Polinomu var pārveidot par reizinājumu:
  • iznesot kopīgo reizinātāju pirms iekavām;
  • sadalot reizinātājos kvadrātrinomu ax2+bx+c=axx1xx2;
  • veicot grupēšanu;
  • izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas:
kvadrātu starpības formula a2b2=(ab)(a+b);
summas kvadrāta formula (a+b)2=a2+2ab+b2;
starpības kvadrāta formula (ab)2=a22ab+b2;
kubu summas formula a3+b3=(a+b)(a2ab+b2);
kubu starpības formula a3b3=(ab)(a2+ab+b2); u.c.
Aplūkosim piemērus, kuros var izdalīt polinomus, izmantojot saīsināšanu.
  
1. uzdevums. Izdali 2x2+4x:x+2.
Skaitītājā iznes pirms iekavām kopīgo reizinātāju \(2x:\)
2x2+4xx+2=2xx+2x+2=2xx+21x+21=2x
Atbilde: Dalījums ir \(2\)\(x\), atlikumā \(0\).
 
 

2. uzdevums. Izdali 3x39x2:3x.
Skaitītājā iznes pirms iekavām 3x2, saucējā iznes pirms iekavām \((-1):\)
3x39x23x=3x2x31x3=3x2x311x31=3x21=3x2
Atbilde: Dalījums ir \((-\)3x2\(\)), atlikumā \(0\).
 
  
 
3. uzdevums. Izdali polinomus!
Skaitītāju uzraksta kā summas kvadrātu:
x2+4x+42x+4=x+222x+2=x+n2x+22x+21=x+22=12x+1
Atbilde: Dalījums ir x+22 jeb 12x+1, atlikumā ir \(0.\)
  
  
 
4.  uzdevums. Izdali x2+x12:x3.
Skaitītāju sadala reizinātājos, izmantojot ax2+bx+c=axx1xx2:
x2+x12x3=x3x+4x3=x+4
Aprēķina kvadrāttrinoma saknes:
x2+x12=0x1=3;x2=4
Atbilde: Dalījums ir \(x+4\), atlikumā \(0\).
 
 
 
5. uzdevums. Izdali x3+1:x+1.
Skaitītājā izmanto kubu summas formulu:
x3+1x+1=(x+1)(x21x+12)x+1=x2x+1
Atbilde: Dalījums ir x2x+1, atlikumā \(0\).
 
 
 
6. uzdevums. Izdali x33x2x+3:x3.
Skaitītājā veic grupēšanu:
x33x2x+3x3=x2x31x3x3==x21x3x3=x21
Atbilde: Dalījums ir x21, atlikumā \(0.\)
 
 
 
7. uzdevums. Izdali x41:x1.
Skaitītājā divas reizes izmanto kvadrātu starpības formulu:
x41x1=x21x2+1x1==x1x+1x2+1x1==x+1x2+1=x3+x2+x+1
Atbilde: Dalījums ir x3+x2+x+1, atlikumā \(0.\)
 
  
Visus dotos piemērus var atrisināt arī lietojot polinomu dalīšanas algoritmu.
Novērtē, kā vieglāk!
  
Vidusskolas kursā plānotais sasniedzamais rezultāts ir prasme polinomu izdalīt ar pirmās pakāpes binomu, izvēloties piemērotu attēlošanas veidu. 
 
Atsauce:
 
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
https://mape.skola2030.lv/resources/9482, 47.lpp.