Ja no vienādības var izteikt kā funkciju no , t.i., , kas definēta visām \(y\) vērtībām funkcijas \(y=f(x)\) vērtību apgabalā, tad funkciju \(x=g(y)\) sauc par funkcijas \(y=f(x)\) apvērsto jeb inverso funkciju.
Tā kā argumentu parasti apzīmē ar burtu , bet funkciju - ar , tad maina vietām burtus un .
Lai atrastu inverso funkciju, rīkojas šādi:
1) no vienādojuma izsaka ;
2) iegūtajā izteiksmē pārdēvē par un par .
Piemērs:
Dota funkcija . Nosaki inverso funkciju \(g(x)!\)
Risinājums
Funkcija nav definēta, ja \(x=3\) (dalīšana ar nulli nav iespējama).
Ja , drīkst abas puses reizināt ar \(x-3\):
Tā kā ir jāizsaka \(x\), tad sanesam locekļus ar \(x\) vienā pusē:
Ja , tad vienādību drīkst dalīt ar \(y-1\):
Pārmaina mainīgo nosaukumus un iegūst inverso funkciju , iedodot funkcijai nosaukumu, iegūst . Ja neiedosim funkcijām nosaukumus, būs grūti viennozīmīgi pierakstīt abu funkciju definīcijas un vērtību apgabalus.
Inversās funkcijas īpašība: tiešās funkcijas un inversās funkcijas definīcijas apgabals un vērtību apgabals mainās vietām.
Sākotnējās funkcijas definīcijas apgabals , tātad
Inversās funkcijas vērtību apgabals .
Sākotnējās funkcijas vērtību apgabals ir vienāds ar inversās funkcijas definīcijas apgabalu.
Tā kā definīcijas apgabalu noteikt ir vienkāršāk, sāksim ar inverso funkciju:
, tātad .
Aplūkosim dotās un inversās funkcijas grafikus.
1. attēls Dotā funkcija
2. attēls Inversā funkcija
Ievēro, ka dotajai funkcijai un inversai funkcijai ir atšķirīgas asimptotas.
Atceries, ka tiešās un inversās funkcijas grafiks ir simetrisks pret taisni .
3. attēls Dotā un inversā funkcija kopā
Pamēģini pats konstruēt šos grafikus ar programmu Desmos.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Ziobrovskis V., Siliņa B., Algebra vidusskolai 1. daļa. Rīga Zvaigzne ABC, 1999, 233.lpp.
Kriķis D., Šteiners K., Matemātiskās analīzes elementi 1. daļa, Rīga, Zvaigzne ABC 2018., 28.lpp.