Funkcijai punktā ir tās vislielākā vērtība, ja visiem no definīcijas apgabala (kur ) ir spēkā nevienādība , tas ir, visas citas funkcijas vērtības ir mazākas par .
Piemēram, 1. zīmējumā dotajai funkcijai vislielākā vērtība ir .
1. zīm.
Funkcijai punktā ir tās vismazākā vērtība, ja visiem no definīcijas apgabala (kur ) ir spēkā nevienādība , tas ir, visas citas funkcijas vērtības ir lielākas par .
Piemēram, 2. zīmējumā dotajai funkcijai vismazākā vērtība ir .
2. zīm.
Svarīgi!
Vislielāko vai vismazāko vērtību visā tās definīcijas apgabalā funkcija var sasniegt kritiskajos punktos. Ja funkcija ir definēta konkrētā intervālā, tad tās vislielākā vai vismazākā vērtība var būt funkcijas galapunktos.
Lai atrastu kādā intervālā nepārtrauktas funkcijas vislielāko un vismazāko vērtību, ir nepieciešams:
1) atrast kritiskos punktus, kas pieder pie dotā intervāla, atrast funkcijas vērtības šajos punktos;
2) atrast funkcijas vērtības intervāla galapunktos;
3) salīdzināt iegūtās vērtības.
No atrastajām funkcijas vērtībām izvēlas vislielāko un vismazāko skaitli.
Piemērs:
Atrast funkcijas vislielāko un vismazāko vērtību intervālā \([0;3].\)
Risinājums
Kritiskais punkts ir \(x=2\).
Atrodam funkcijas vērtību šajā punktā: .
Aprēķinām funkcijas vērtības intervāla galapunktos:
Tādējādi vismazākā funkcijas vērtība ir \(-1\) un to iegūst intervāla iekšējā punktā, bet vislielākā funkcijas vērtība ir \(3\) un to funkcija iegūst intervāla kreisajā galapunktā.
Risinot uzdevumus, bieži vien nav svarīgi konstruēt funkcijas grafiku un nav nepieciešams veikt pilnu funkcijas īpašību pētījumu, bet tikai jānosaka, pie kāda argumenta funkcijai ir vislielākā vai vismazākā vērtība.
Šāda veida uzdevumus dažkārt sauc ekstrēma uzdevumiem.
Piemērs:
Gaisā izšāva raķeti. Kāds būs tās maksimālais attālums no zemes virsmas, ja raķetes attālumu no zemes virsmas (metros) laika momentā var aprēķināt ar formulu ?
Risinājums:
Nav nepieciešams konstruēt kvadrātfunkciju.
Atrodam funkcijas kritisko punktu:
Tātad raķete sasniegs savu augstāko punktu pēc \(30\) sekundēm (funkcijas arguments ir laiks).
Aprēķinām funkcijas vērtību kritiskajā punktā - maksimālo augstumu.
Lai noteiktu šīs funkcijas vislielāko vērtību, var izmantot pamatskolas zināšanas un atrast parabolas virsotnes koordinātas. Zinām, ka parabolai zari ir uz leju un tai eksistē lielākā vērtība.
Parabolas virsotnes abscisa:
Atbilde: Maksimālais attālums no zemes virsmas būs 900 metri.