6. Modulis vienādojumā ar x un y

Vispirms atcerēsimies moduļa definīciju.

Aplūkosim funkcijas \(y=|x|\) grafiku

Redzam, ka funkcijas \(y=x\) tā grafika daļa, kurām funkcijas vērtības ir negatīvas \((y<0)\) attēlota simetriski pret  asi. Ievēro, ka moduļa vērtības nevar būt negatīvas.

Ja vēlamies atrisināt vienādojumu ar diviem nezināmiem \(y=|x|\), šī vienādojuma saknes ir visu to punktu kopa, kas pieder \(y=|x|\) grafikam.

 

Atrisināsim vienādojumus ar diviem nezināmiem, kuri nav funkcijas, tā iemesla dēļ, ka vienai argumenta vērtībai atbilst vairāk nekā viena funkcijas vērtība. Tomēr mēs varam šī līnijas attēlot koordinātu plaknē, parādot to ģeometrisko vietu.

 

 

Uzdevumu var risināt dažādi. Mēs izmantosim moduļa definīciju:

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\mathrm{ja}x\ge 0\\ -x,\mathrm{ja}x<0\end{array}\right.$ un $\left|y\right|=\left\{\begin{array}{l}y,\mathrm{ja}y\ge 0\\ -y,\mathrm{ja}y<0\end{array}\right.$

 

Tā kā koordinātu plaknē katrā no kvadrantiem atšķiras \(x\) un \(y\) zīmes, tad risinājumu noformējam tabulā, kurā katrs tabulas lodziņā atbilst koordinātu plaknes kvadrantam.

Uzzīmējam katrā no kvadrantiem atbilstošo sakarības grafiku.

 

 

Ievērojam to, ka ja $\left|x\right|-\left|y\right|=5$, tad arguments \(x\) pēc moduļa nevar būt mazāks par \(5\), jo tad nav iespējams atrast tādu y vērtību, lai starpība būtu skaitlis \(5\).

  

Aplūkosim piemēru, kurā moduļi ir saskaitīti.

Attēlo koordinātu plaknē vienādojuma ar diviem mainīgajiem visu atrisinājumu kopu $\left|x\right|+\left|y\right|=5$.

 

Rīkojas līdzīgi.

 

 

Redzam, ka ne \(x\), ne \(y\) pēc moduļa nevar būt lielāki par \(5\), jo tad summa pārsniegs skaitli \(5\).

Interesanti, ka vienādojumā $x^2-y^2=0$ nomainot zīmi no mīnus uz plus: $x^2+y^2=0$, iegūst riņķa līnijas vienādojumu, kuras centrs ir koordinātu sākumpunktā un rādiuss \(R=0\), tātad šī vienādojuma atrisinājums ir viens punkts \((0;0).\)