"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"
Par reāla skaitļa $a$ pakāpi ar naturālu kāpinātāju $n$ sauc reizinājumu, kurā skaitlis $a$ ņemts $n$ reizes.

$\begin{array}{l}{a}^{n}=\underset{⏟}{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{a}^{1}=a,\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{a}^{0}=1\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathrm{ja}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}a\ne 0\right)\\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathrm{reizes}\end{array}$
Piemērs:
$\begin{array}{l}{4}^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64\\ {\left(-3\right)}^{4}=\left(-3\right)\left(-3\right)\left(-3\right)\left(-3\right)=81\end{array}$
$\begin{array}{ll}\mathit{bāze}\to & \begin{array}{l}\mathit{kāpinātājs}\\ {2}^{\begin{array}{l}↓\\ \phantom{\rule{0.294em}{0ex}}3\end{array}}=8\\ \begin{array}{l}↖↗\\ \mathit{pakāpe}\end{array}\end{array}\end{array}$

Ja negatīva skaitļa kāpinātājs ir pāra skaitlis, tad skaitļa pakāpe ir pozitīvs skaitlis.
Ja negatīva skaitļa kāpinātājs ir nepāra skaitlis, tad pakāpe ir negatīvs skaitlis.
Piemērs:
${\left(-2\right)}^{4}=16;\phantom{\rule{1.029em}{0ex}}{\left(-2\right)}^{3}=-8$
Pieņemts, ka jebkurš skaitlis, izņemot $$0$$, nultajā pakāpē ir vienāds ar $$1$$.
${a}^{0}=1\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(a\ne 0\right)$
Ja kāpinātājs ir vesels negatīvs skaitlis, tad ${a}^{-n}=\frac{1}{{a}^{n}}$.
Piemērs:
Pārveido par pakāpi!
$\begin{array}{l}\frac{1}{8}=\frac{1}{{2}^{3}}={2}^{-3}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\\ \frac{1}{2{x}^{-4}}=\frac{{x}^{4}}{2}\end{array}$
Ja $a>0$ un $m$, $n$ ir naturāli skaitļi, tad ${a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{{a}^{m}}$.
Pakāpe ar daļveida kāpinātāju ir vienāda ar sakni, kuras rādītājs ir kāpinātāja saucējs, bet zemsaknes izteiksme ir pakāpes bāze, kāpināta ar daļas skaitītāju.
Piemērs:
Pārveido par pakāpi!
$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{x}^{5}}={x}^{\frac{5}{3}}\\ \sqrt{2}\cdot {2}^{3}={2}^{\frac{1}{2}}\cdot {2}^{3}={2}^{3\frac{1}{2}}\end{array}$
$\begin{array}{l}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{27}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3\\ \\ {81}^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{81}^{3}}={\left(\sqrt[4]{81}\right)}^{3}={3}^{3}=27\end{array}$
Kāpināšanas īpašības:

Pakāpju reizināšana vai dalīšana, ja bāzes ir vienādas:

$\begin{array}{l}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{a}^{m}\cdot {a}^{n}={a}^{m+n}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{a}^{m}:{a}^{n}={a}^{m-n}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\end{array}$
Piemērs:
Vienkāršo!
$\begin{array}{l}{x}^{3}\cdot {x}^{6}={x}^{3+6}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}={x}^{9}\\ \\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\frac{{3}^{8}}{{3}^{6}}={3}^{8}:{3}^{6}={3}^{8-6}={3}^{2}=9\end{array}$
Reizinājuma vai dalījuma kāpināšana (bāzes ir dažādas):

$\begin{array}{l}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{a}^{m}\cdot {b}^{m}={\left(\mathit{ab}\right)}^{m}\\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}}={\left(\frac{a}{b}\right)}^{n}\end{array}$
Piemērs:
Aprēķini vērtību!
$\begin{array}{l}{2}^{3}\cdot {5}^{3}={10}^{3}=1000\\ \\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\frac{{8}^{6}}{{4}^{6}}={\left(\frac{8}{4}\right)}^{6}={2}^{6}=64\end{array}$
Pakāpes kāpināšana:

$\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{\left({a}^{m}\right)}^{n}={a}^{\mathit{mn}}$
Piemērs:
Vienkāršo!
$\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{\left({y}^{3}\right)}^{4}={y}^{3\cdot 4}={y}^{12}$
Dalījuma pakāpe ar negatīvu kāpinātāju:

$\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^{n}$
Piemērs:
Aprēķini vērtību!
$\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{3}=\frac{{3}^{3}}{{2}^{3}}=\frac{27}{8}$

Skat. Formulas
optimālā līmeņa matemātikas valsts pārbaudes darbam.