1. Vjeta teorēma

Reducēta kvadrātvienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo locekli, bet sakņu summa ir vienāda ar lineārā locekļa koeficientam pretējo skaitli.
Ja x1 un x2 ir reducētā kvadrātvienādojuma x2+px+q=0 saknes, tad
x1⋅x2=qx1+x2=−p
Piemērs:
Nosaki kvadrātvienādojuma x2−14x+40=0 saknes!
Uzraksta Vjeta teorēmu.
x1⋅x2=40x1+x2=−(−14)=14
Tā kā skaitļu reizinājums ir pozitīvs un arī skaitļu summa ir pozitīva, tad abi ir pozitīvi. No visiem reizinājumiem 40=1⋅40=2⋅20=4⋅10=5⋅8 izvēlas to, kurā skaitļu summa ir 14.
1+40=41≠142+20=22≠144+10=145+8=13≠14
  
Atbilde: x1=10,x2=4
Piemērs:
Nosaki kvadrātvienādojuma x2+4x−12=0 saknes!
Uzraksta Vjeta teorēmu.
x1⋅x2=−12x1+x2=−4
Tā kā skaitļu reizinājums ir negatīvs, tad viena sakne ir pozitīva, bet otra - negatīva. Arī skaitļu summa ir negatīva, tātad negatīvais skaitlis pēc tā moduļa ir lielāks.
Atrod visus reizinājumus 12=1⋅12=2⋅6=3⋅4. Pārbauda skaitļu summu.
1+(−12)=−11≠−42+(−6)=−43+(−4)=−1≠4
  
Atbilde: x1=2,x2=−6
Arī kvadrātvienādojumam, kurā \(a\)≠\(1\), ir spēkā Vjeta teorēma.
 
ax2+bx+c=0:aaax2+bax+ca=0x2+bax+ca=0x1⋅x2=cax1+x2=−ba,
kur x1 un x2 ir vienādojuma saknes.
 
Ja ar Vjeta teorēmu ir grūti uzminēt saknes, tās var aprēķināt ar vispārīgā kvadrātvienādojuma formulām, bet ar Vjeta teorēmu var pārbaudīt, vai kvadrātvienādojuma saknes ir izrēķinātas pareizi.
2x2+0,8x−0,1=0D=b2−4ac=0,82−4⋅2⋅−0,1=1,44x1=−b+D2a=−0,8+1,22⋅2=0,1x2=−b−D2a=−0,8−1,22⋅2=−0,5
 
Pārbaude ar Vjeta teorēmu:
2x2+0,8x−0,1=0|:2 x2+0,4x−0,05=00,1⋅−0,5=−0,050,1+(−0,5)=−0,4
 
Izmantojot Vjeta teorēmu, var sastādīt kvadrātvienādojumu, ja ir zināmas tā saknes.
Piemērs:
Kāda kvadrātvienādojuma x2+px+q=0 saknes ir \(5\) un \(-3\)?
5+(−3)=2=−p(p=−2)5⋅−3=−15=q
  
Atbilde: x2−2x−15=0
Iepriekšējā tēma
Atgriezties tēmā
Nākamais uzdevums
Copyright © 2024 SIA Uzdevumi.lv Kontakti Lietošanas noteikumi Privātuma politika Sīkdatņu iestatījumi