Darbības ar pakāpēm, pamatlikumi — teorija. Matemātika, 12. klase.

Par eksponentvienādojumu sauc tādu vienādojumu, kur nezināmais atrodas kāpinātājā. Piemēram,

3^{x} = 27, 6^{x - 3} - 6^{3} = 36

Eksponentvienādojumu risināšanā nepieciešams izmantot pakāpju īpašības un definīcijas, tāpēc vispirms jāatkārto pamatskolā apgūtais.

Par reāla skaitļa

a

pakāpi ar naturālu kāpinātāju

n

sauc reizinājumu, kurā skaitlis

a

ņemts

n

reizes.

\begin{array}{l} a^{n} = \underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a} a^{1} = a, a^{0} = 1 (ja a \neq 0) \\ n reizes \end{array}

Piemērs:

\begin{array}{l} 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \\ {(- 3)}^{4} = (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) = 81 \end{array}

\begin{array}{l} bāze \to & \begin{array}{l} kāpinātājs \\ 2^{\begin{array}{l} ↓ \\ 3 \end{array}} = 8 \\ \begin{array}{l} ↖ ↗ \\ pakāpe \end{array} \end{array} \end{array}

Ja negatīva skaitļa kāpinātājs ir pāra skaitlis, tad skaitļa pakāpe ir pozitīvs skaitlis.

Ja negatīva skaitļa kāpinātājs ir nepāra skaitlis, tad pakāpe ir negatīvs skaitlis.

Piemērs:

{(- 2)}^{4} = 16; {(- 2)}^{3} = - 8

Ja kāpinātājs ir vesels negatīvs skaitlis:

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Piemērs:

Pārveido par pakāpi!

\begin{array}{l} \frac{1}{8} = \frac{1}{2^{3}} = 2^{- 3} \\ \frac{1}{x^{- 4}} = x^{4} \end{array}

a > 0

m

n

ir naturāli skaitļi, tad

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Piemērs:

Pārveido par pakāpi!

\begin{array}{l} \sqrt[3]{x^{5}} = x^{\frac{5}{3}} \\ \sqrt{2} \cdot 2^{3} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3} = 2^{3 \frac{1}{2}} \end{array}

Kāpināšanas īpašības

\begin{array}{l} 1) a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} \\ 2) a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ 3) a^{m} \cdot b^{m} = {(ab)}^{m} \\ 4) a^{m} : a^{n} = a^{m - n} \\ 5) \frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n} \\ 6) {(a^{m})}^{n} = a^{mn} \\ 7) {(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n} \end{array}

\begin{array}{l} 1) 2^{- 5} = \frac{1}{2^{5}} = \frac{1}{32} \\ 2) x^{3} \cdot x^{6} = x^{3 + 6} = x^{9} \\ 3) 2^{3} \cdot 5^{3} = 10^{3} = 1000 \\ 4) \frac{3^{8}}{3^{6}} = 3^{8} : 3^{6} = 3^{8 - 6} = 3^{2} = 9 \\ 5) \frac{8^{6}}{4^{6}} = {(\frac{8}{4})}^{6} = 2^{6} = 64 \\ 6) {(y^{3})}^{4} = y^{3 \cdot 4} = y^{12} \\ 7) {(\frac{2}{3})}^{- 4} = {(\frac{3}{2})}^{4} \end{array}

Atradi kļūdu?

1. Darbības ar pakāpēm, pamatlikumi