Matemātikā, tāpat kā visās citās zinātnes nozarēs ir izveidota sistēma, kurā katram lietotajam jēdzienam ir sava noteikta vieta. Ar pamatjēdzieniem un definīcijām tiek ieviesti jauni objekti (matemātikas pamatjēdzieni ir punkts, kopa, taisne, plakne, cipars utt.).
Pamatjēdzieniem piemītošās īpašības un pazīmes apraksta ar aksiomu un teorēmu palīdzību.
Aksiomas - apgalvojumi, kuru pieņem par patiesu bez pierādījuma.
Tās radušās praktiskā pieredzē un ir intuitīvi saprotamas. Aksiomas dažreiz sauc arī par postulātiem. Aksiomas bieži vien ir acīmredzamas īpašības.
Piemērs:
Caur diviem punktiem var novilkt tikai vienu taisni.
Ja garuma vienība ir izraudzīta, tad katra nogriežņa garumu izsaka pozitīvs skaitlis.
Diviem reāliem pozitīviem skaitļiem \(a\) un \(b\) (\(a < b\)) var atrast tādu naturālu skaitli \(n\), ka \(an > b\) ir patiesa nevienādība (Arhimēda aksioma).
Matemātikā īpaša nozīme ir ģeometrijas aksiomām. Ģeometrijas aksiomas ir pamatatziņas, uz kurām pamatojas visa ģeometrija. Izmainot kādu no aksiomām, mainās arī pati ģeometrija.
Mēs skolā mācāmies Eiklīda ģeometriju, kuru divus tūkstošus gadu visi uzskatīja par vienīgi iespējamo ģeometrijas sistēmu. Eiklīda ģeometrija balstās uz 5 postulātiem:
- Divus punktus var savienot ar vienu vienīgu taisni.
- Taisnes nogriezni abos tā galos uz taisnes var pagarināt.
- Ap katru punktu kā ap centru var apvilkt riņķa līniju ar jebkādu rādiusu.
- Visi taisnie leņķi ir vienādi.
- Ja dotā plaknē ir taisne un punkts, kas neatrodas uz taisnes, tad caur šo punktu var novilkt vienu vienīgu taisni, kura nekrusto doto taisni (zīm.).
19. gadsimtā krievu matemātiķis Nikolajs Lobačevskis izveidoja pirmo neeiklīda ģeometriju, kurā izmainīja 5. postulātu: ja plaknē dota taisne un punkts, kas neatrodas uz taisnes, tad caur šo punktu var novilkt neierobežoti daudz taišņu,kuras nekrusto doto taisni. Savādi, ka Lobačevska ģeometrijā trijstūra iekšējo leņķu summa ir mazāka par 180 grādiem, un katram trijstūrim tā var būt savādāka.
Interesanta ir Rīmaņa ģeometrija. Rīmaņa plakne ir kā lodes virsma, bet taisne - lodes lielā riņķa līnija. Rīmaņa taisnes nav bezgalīgi garas, bet ir slēgtas un tām visām ir viens garums. Rīmaņa plaknē nav paralēlu taišņu. Eiklīda 5. postulātu Rīmanis nomainīja ar šādu: ja plaknē dota taisne un punkts, kas neatrodas uz taisnes, tad caur šo punktu nevar novilkt nevienu dotajai taisnei paralēlu taisni.
Varbūt šī ģeometrija vairāk atbilst mums - cilvēkiem, kas dzīvo uz lodes virsmas (Zemes), nevis uz plakanas plaknes? Pamēģini novilkt taisni uz zemeslodes virsmas!
Neeiklīda ģeometrijas var apgūt, studējot augstāko matemātiku.