4. Kā pierāda skaitļu dalāmību?

Aplūkosim, kā var pamatot skaitļu dalāmības pazīmes.

Vienkāršības dēļ apskatīsim četrzīmju skaitļus.

 

Kā rīkoties, ja jāuzraksta četrzīmju skaitlis, kas satur \(a\) tūkstošus, \(b\) simtus, \(c\) desmitus, \(d\) vienus?

Nevar rakstīt \(abcd\), jo tas nozīmētu reizināšanu. Tāpēc skaitļus, kuru cipari apzīmēti ar burtiem, ir pieņemts pierakstīt, pārvelkot pāri svītru.

Naturālu četrciparu skaitli \(N\) var pierakstīt: $N=\overline{\mathit{abcd}}=a\cdot 1000+b\cdot 100+c\cdot 10+d$ jeb $N=\overline{\mathit{abcd}}=a\cdot {10}^3+b\cdot {10}^2+c\cdot {10}^1+d$.

 

Ar šo vienādību ir iespējams pierādīt dalāmības pazīmes, izmantojot dotā skaitļa ciparus.

 

Pierādījumam izmanto arī kongruences.

Metodes ideja ir atrast kādu mazāko skaitli nekā dotais skaitlis, pie tam šis mazākais skaitlis dalās tad un tikai tad, ja ar kādu noteiktu dalītāju dalās dotais skaitlis.

 

Noskaidro, vai naturālais skaitlis \(N\) dalās ar naturālu skaitli \(m\).

 

Dala \(1000\); \(100\) un \(10\) ar moduli \(m\), un apzīmē atlikumus attiecīgi ar $r_3$, $r_2$, $r_1$.

Tad

$1000\equiv r_3(\mathit{mod}m)$,

$100\equiv r_2(\mathit{mod}m)$,

$10\equiv r_1(\mathit{mod}m)$.

 

Reizinot abas pirmās kongruences abas puses ar \(a\), otrās ar \(b\), trešās - ar \(c\), iegūst

$d\equiv d(\mathit{mod}m)$ (pēc kongruences refleksivitātes īpašības)

 

Saskaitot pēdējās četras kongruences, kreisajā pusē iegūst skaitli \(N\), bet labajā pusē - par to mazāku skaitli $N_1=a{r}_3+b{r}_2+c{r}_1+d$, tātad $N\equiv N_1(\mathit{mod}m)$.

Līdz ar to ir atrasts kāds mazāks skaitlis, kas dalās tieši tad, kad dalās dotais skaitlis.

 

 

Pierādīsim dalāmības pazīmi ar \(9\).

 

Ja modulis \(m= 9\), tad ir pareizas kongruences:

 

Tāpēc

$\begin{array}{l}{N}_1=a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 1+d\\ N_1=a+b+c+d\end{array}$ 

Un tā kā $N\equiv N_1(\mathit{mod}m)$, tad $N\equiv a+b+c+d(\mathit{mod}9)$.