Teorija

Aplūkosim, kā var pamatot skaitļu dalāmības pazīmes.
Vienkāršības dēļ apskatīsim četrzīmju skaitļus.
 
Kā rīkoties, ja jāuzraksta četrzīmju skaitlis, kas satur \(a\) tūkstošus, \(b\) simtus, \(c\) desmitus, \(d\) vienus?
Nevar rakstīt \(abcd\), jo tas nozīmētu reizināšanu. Tāpēc skaitļus, kuru cipari apzīmēti ar burtiem, ir pieņemts pierakstīt, pārvelkot pāri svītru.
Naturālu četrciparu skaitli \(N\) var pierakstīt: N=abcd¯=a1000+b100+c10+d jeb N=abcd¯=a103+b102+c101+d.
 
Ar šo vienādību ir iespējams pierādīt dalāmības pazīmes, izmantojot dotā skaitļa ciparus.
 
Pierādījumam izmanto arī kongruences.
Apgalvojums "\(N\) dalās ar \(m\)" ir līdzvērtīgs kongruencei N0(modm).
Metodes ideja ir atrast kādu mazāko skaitli nekā dotais skaitlis, pie tam šis mazākais skaitlis dalās tad un tikai tad, ja ar kādu noteiktu dalītāju dalās dotais skaitlis.
 
Noskaidro, vai naturālais skaitlis \(N\) dalās ar naturālu skaitli \(m\).
N=abcd¯=a1000+b100+c10+d
 
Dala \(1000\); \(100\) un \(10\) ar moduli \(m\), un apzīmē atlikumus attiecīgi ar r3, r2, r1.
Tad
1000r3(modm),
100r2(modm),
10r1(modm).
 
Reizinot abas pirmās kongruences abas puses ar \(a\), otrās ar \(b\), trešās - ar \(c\), iegūst
1000aar3(modm)
100bbr2(modm)
10ccr1(modm)
dd(modm) (pēc kongruences refleksivitātes īpašības)
 
Saskaitot pēdējās četras kongruences, kreisajā pusē iegūst skaitli \(N\), bet labajā pusē - par to mazāku skaitli N1=ar3+br2+cr1+d, tātad NN1(modm).
Līdz ar to ir atrasts kāds mazāks skaitlis, kas dalās tieši tad, kad dalās dotais skaitlis.
 
Dalāmības pazīme ar 9
 
Pierādīsim dalāmības pazīmi ar \(9\).
 
Ja modulis \(m= 9\), tad ir pareizas kongruences:
10001(mod9)
1001(mod9)
101(mod9)
 
Tāpēc
N1=a1+b1+c1+dN1=a+b+c+d 
Un tā kā NN1(modm), tad Na+b+c+d(mod9).
Iegūst dalāmības pazīmi ar \(9\): naturāls skaitlis dalās ar \(9\) tad un tikai tad, ja tā ciparu summa dalās ar \(9\).
 
Pamēģini patstāvīgi pierādīt dalāmības pazīmes četrciparu skaitlim ar \(2; 3; 4.\)
 
 
Atsauce:
E. Detlova, H. Graudone, P. Zariņš. Matemātika 7.-8.klasei. Fakultatīvs kurss.. Zvaigzne 1973.
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja