Kongruences jēdziens — teorija. Matemātika, Gatavošanās matemātikas olimpiādēm.

Kongruences jēdzienu lieto skaitļu teorijā, mācībā par veselo skaitļu īpašībām.

Ja divi skaitļi \(a\) un \(b\), dalot ar \(m\), dod vienādus atlikumus, tad saka, ka šie skaitļi ir kongruenti attiecībā pret moduli \(m\) jeb kongruenti pēc moduļa \(m\). Raksta

a \equiv b (\mod m)

m \geq 2

Apskatīsim atlikumus, ko iegūst, dalot dažādus veselus skaitļus ar \(4\).

\(0=4·0+0\)

\(1=4·0+1\)

\(2=4·0+2\)

\(3=4·0+3\)

\(4=4·1+0\)

\(5=4·1+1\)

\(6=4·1+2\)

\(7=4·1+3\)

\(8=4·2+0\)

\(9=4·2+1\)

\(10=4·2+2\)

\(11=4·2+3\)

…

Var ievērot, ka dalot ar \(4\), atlikums var būt tikai \(0; 1; 2; 3.\)

Iepazīsimies ar dažiem skaitļiem, kurus dalot ar \(4\) iegūst vienādus atlikumus. Tā piemēram, atlikums \(2\) ir, ja ar \(4\) dala skaitļus \(2; 6; 10\).

Skaitļi \(2\); \(6\) un \(10\) dalot ar \(4\), dod vienādus atlikumus, tātad šie skaitļi ir kongruenti attiecībā pret moduli \(4\) jeb kongruenti pēc moduļa \(4\). Raksta

2 \equiv 6 \equiv 10 (\mod 4)

Daudzus aprēķinus veikt ir ievērojami vienkāršāk, ja izmanto kongruenču īpašības.

Kongruenču īpašības

1. Ja \(a\) dalot ar \(m\) dod atlikumu \(r\), tad

a \equiv r (\mod m)

2. Ja

a \equiv b (\mod m)

, tad

ka \equiv kb (\mod m)

, kur \(k\) ir jebkurš vesels skaitlis.

3. Ja

a \equiv b (\mod m)

, tad

a^{n} \equiv b^{n} (\mod m)

, kur \(n\) ir jebkurš naturāls skaitlis.

4. Ja

a \equiv b (\mod m)

c \equiv d (\mod m)

, tad

a + c \equiv b + d (\mod m)

a - c \equiv b - d (\mod m)

ac \equiv bd (\mod m)

5. Visiem veseliem skaitļiem \(a\) izpildās kongruence

a \equiv a (\mod m)

(refleksivitāte).

6. Ja

a \equiv b (\mod m)

, tad

b \equiv a (\mod m)

(simetrija).

7. Ja

a \equiv b (\mod m)

b \equiv c (\mod m)

, tad

a \equiv c (\mod m)

(transitivitāte).

Piemērs:

Kādu atlikumu var iegūt, vesela skaitļa kvadrātu dalot ar 4?

Atrisinājums.

Iepriekš noskaidrojām, ka veselu skaitli n, dalot ar 4, var iegūt atlikumu 0; 1; 2 vai 3

Izmantosim 3. īpašību.

\begin{array}{l} n \equiv 0 (\mod 4) \Rightarrow n^{2} \equiv 0^{2} \equiv 0 (\mod 4) \\ n \equiv 1 (\mod 4) \Rightarrow n^{2} \equiv 1^{2} \equiv 1 (\mod 4) \\ n \equiv 2 (\mod 4) \Rightarrow n^{2} \equiv 2^{2} \equiv 4 \equiv 0 (\mod 4) \\ n \equiv 3 (\mod 4) \Rightarrow n^{2} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 1 (\mod 4) \end{array}

Tātad vesela skaitļa kvadrātu, dalot ar \(4\), var iegūt atlikumu \(0\) vai \(1\).

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

3. Kongruences jēdziens

Teorija