21.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 12.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Izmantojot kongruences, atradīsim dalāmības pazīmi ar $$7$$

Apskatīsim septiņciparu skaitļus.
Naturālu septiņciparu skaitli $$N$$ var pierakstīt:

$\begin{array}{l}N=\overline{\mathit{abcdefg}}\\ N=a\cdot 1\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}000\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}000+b\cdot 100\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}000+c\cdot 10\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}000+d\cdot 1000+e\cdot 100+f\cdot 10+g\cdot 1\end{array}$

Dala $$1 000 000$$; $$100 000$$; $$10 000;$$$$1000;$$$$100$$; $$10$$ ar moduli $$7$$,

Var pārliecināties, ka ir pareizas kongruences:
$1\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}000\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}000\equiv 1\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathit{mod}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}7\right)$
$100\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}000\equiv -2\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathit{mod}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}7\right)$
$10\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}000\equiv -3\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathit{mod}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}7\right)$
$1000\equiv -1\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathit{mod}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}7\right)$
$100\equiv 2\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathit{mod}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}7\right)$
$10\equiv 3\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathit{mod}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}7\right)$
$1\equiv 1\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathit{mod}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}7\right)$

Šoreiz izdevīgāk rakstīt skaitli "no otra gala"
$\begin{array}{l}{N}_{1}=g\cdot 1+f\cdot 3+e\cdot 2+d\cdot \left(-1\right)+c\cdot \left(-3\right)+b\left(-2\right)+a\cdot 1\\ {N}_{1}=g+3f+2e-d-3c-2b+a\end{array}$

$N\equiv g+3f+2e-d-3c-2b+a\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathit{mod}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}7\right)$.
Vispārinot, iegūst dalāmības pazīmi ar $$7$$: naturāls skaitlis dalās ar $$7$$ tad un tikai tad, ja ar 7 dalās skaitlis, ko iegūst, reizinot šī skaitļa ciparus (no labās puses) ar skaitļiem 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2; -1; -3; -2; ... un saskaitot.
Piemērs:
1) Vai skaitlis $$623$$ dalās ar $$7$$?
${N}_{1}=\underset{¯}{1}\cdot 3+\underset{¯}{3}\cdot 2+\underset{¯}{2}\cdot 6=21$
Tātad skaitlis $$623$$ dalās ar $$7$$, jo $$21$$ dalās ar $$7$$.

2) Vai skaitlis $$14156$$ dalās ar $$7$$? Ja nedalās, tad nosaki atlikumu!
${N}_{1}=\underset{¯}{1}\cdot 6+\underset{¯}{3}\cdot 5+\underset{¯}{2}\cdot 1\underset{¯}{-1}\cdot 4\underset{¯}{-3}\cdot 1=16$.
Zinām, ka skaitlis $$16$$ nedalās ar $$7$$, tas nozīmē, ka skaitlis $$14156$$ nedalās ar $$7$$.
Pie tam $14156\equiv 16\equiv 2\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(\mathit{mod}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}7\right)$

Tātad skaitli $$14156$$, dalot ar $$7$$, atlikumā iegūst $$2$$.
Pamēģini patstāvīgi pierādīt dalāmības pazīmi ar $$7$$ desmitciparu skaitlim. Pievērs uzmanību tam, cik dažādus atlikumus var iegūt, dalot ar 7.

Atsauce:
E. Detlova, H. Graudone, P. Zariņš. Matemātika 7.-8.klasei. Fakultatīvs kurss.. Zvaigzne 1973.
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja