7. Teorēma par kongruenci un skaitļu starpību

Bieži vien, lai pārbaudītu skaitļu kongruenci pēc kāda moduļa, ir ērti lietot tālāk doto teorēmu.

Piemēri.

1) $7\equiv 3\left(\mathit{mod}4\right)$, jo starpība \(7-3\) dalās ar \(4\).

 

2)  Ja starpība \(-3-85=-88\) dalās ar \(4\), tad $-3\equiv 85\left(\mathit{mod}4\right)$.

 

Pierādīsim tiešo un apgriezto teorēmu.

Fakts, ka $a\equiv b\left(\mathit{mod}m\right)$, norāda, ka skaitļus \(a\) un \(b\) dalot ar \(m\) iegūst vienu un to pašu atlikumu \(r\), t. i., $a=\mathit{mq}+r$, $b=m{q}_1+r$, kur  \(q\) un $q_1$ ir veseli skaitļi.

 

Atrod starpību $a-b=m\cdot \left(q-q_1\right)$.

 

Tā kā $q-q_1$ ir vesels skaitlis, tad \(a-b\) ir \(m\) daudzkārtnis un \(a-b\) dalās ar \(m\).

Tā kā dots, ka \(a-b\) dalās ar \(m\), tad tas nozīmē, ka \(a-b\) ir \(m\) daudzkārtnis, t. i., \(a-b=mk\), kur \(k\) ir vesels skaitlis.

Pierādīsim, ka, \(a\) un \(b\) dalot ar \(m\), iegūst vienu un to pašu atlikumu.

 

Pieņemsim, ka, \(b\) dalot ar \(m\), iegūst atlikumu \(r\), t. i., \(b=mq+r\), kur $0\le r<m$.

 

Saskaita vienādības

 

Zināms, ka \(k+q\) ir vesels skaitlis.

 

Pēc teorēmas par nepilnā dalījuma viennozīmīgumu ( ja dots skaitlis \(a\) un naturāls skaitlis \(m\), tad nepilnais dalījums \(q\) un atlikums \(r\) ir noteikti viennozīmīgi), no iegūtās sakarības var secināt, ka \(r\) ir atlikums, ja \(a\) dala ar \(m\).

Tātad dalot \(a\) ar \(m\), iegūst to pašu atlikumu, kādu iegūst, dalot \(b\) ar \(m\).

Tāpēc $a\equiv b\left(\mathit{mod}m\right)$.