Kā pierāda dalāmību ar 7? — teorija. Matemātika, Gatavošanās matemātikas olimpiādēm.

Izmantojot kongruences, atradīsim dalāmības pazīmi ar \(7\)

Apskatīsim septiņciparu skaitļus.

Naturālu septiņciparu skaitli \(N\) var pierakstīt:

\begin{array}{l} N = \bar{abcdefg} \\ N = a \cdot 1 000 000 + b \cdot 100 000 + c \cdot 10 000 + d \cdot 1000 + e \cdot 100 + f \cdot 10 + g \cdot 1 \end{array}

Dala \(1\ 000\ 000\); \(100\ 000\); \(10\ 000;\)\(1000;\)\(100\); \(10\) ar moduli \(7\),

\( \)

Var pārliecināties, ka ir pareizas kongruences:

1 000 000 \equiv 1 (\mod 7)

100 000 \equiv - 2 (\mod 7)

10 000 \equiv - 3 (\mod 7)

1000 \equiv - 1 (\mod 7)

100 \equiv 2 (\mod 7)

10 \equiv 3 (\mod 7)

1 \equiv 1 (\mod 7)

Šoreiz izdevīgāk rakstīt skaitli "no otra gala"

\begin{array}{l} N_{1} = g \cdot 1 + f \cdot 3 + e \cdot 2 + d \cdot (- 1) + c \cdot (- 3) + b (- 2) + a \cdot 1 \\ N_{1} = g + 3 f + 2 e - d - 3 c - 2 b + a \end{array}

N \equiv g + 3 f + 2 e - d - 3 c - 2 b + a (\mod 7)

Vispārinot, iegūst dalāmības pazīmi ar \(7\): naturāls skaitlis dalās ar \(7\) tad un tikai tad, ja ar 7 dalās skaitlis, ko iegūst, reizinot šī skaitļa ciparus (no labās puses) ar skaitļiem 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2; -1; -3; -2; ... un saskaitot.

Piemērs:

1) Vai skaitlis \(623\) dalās ar \(7\)?