Determinanti — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Determinanti

Determinants ir no matricas elementiem aprēķināta vērtība, kuru izmanto matricu un lineāru vienādojumu aprēķinos.

Par 1. kārtas determinantu sauc skaitli, no kura tas sastāv:

|a| = a

Par 2. kārtas determinantu sauc skaitli, kuru aprēķina no galvenās diagonāles elementu reizinājuma \(ad\) atņemot blakusdiagonāles elementu reizinājumu \(bc\):

|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = ad - bc

Par 3. kārtas determinantu sauc šādu skaitli:

|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}| = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{31} \cdot a_{12} \cdot a_{23} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} - a_{33} \cdot a_{21} \cdot a_{12}

Grafiskā veidā to var attēlot ar trijstūru metodi (ar sarkanajām līnijām savienoto elementu reizinājums ar "+" zīmi, ar zilām līnijām "-"):

Lai aprēķinātu 4. kārtas un augstāku kārtu determinantus, izmanto determinantu īpašības:

1. Apmainot determinanta katru rindu ar atbilstošo kolonnu, determinanta vērtība nemainās (to sauc par transponēšanu)

|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}| = |\begin{array}{l} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array}|

Piemērs:

|\begin{array}{l} 0 & 8 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & - 3 \end{array}| = |\begin{array}{l} 0 & 1 & 2 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 \end{array}|

2. Apmainot determinanta divas rindas vai divas kolonnas vietām, determinanta zīme mainās uz pretējo, bet absolūtā vērtība nemainās.

|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}| = - |\begin{array}{l} a_{12} & a_{11} & a_{13} \\ a_{22} & a_{21} & a_{23} \\ a_{32} & a_{31} & a_{33} \end{array}|

Piemērs:

|\begin{array}{l} 0 & 8 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & - 3 \end{array}| = - |\begin{array}{l} 8 & 0 & 3 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 3 \end{array}|

3. Ja determinanta divas rindas vai divas kolonnas ir vienādas, tad determinanta vērtība ir vienāda ar nulli.

|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{11} \\ a_{21} & a_{22} & a_{21} \\ a_{31} & a_{32} & a_{31} \end{array}| = 0

Piemērs:

|\begin{array}{l} 0 & 8 & 0 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}| = 0

4. Ja kādas rindas vai kolonnas visi elementi ir vienādi ar nulli, tad determinants ir vienāds ar nulli.

|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{array}| = 0

Piemērs:

|\begin{array}{l} 0 & 8 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}| = 0

5. Determinanta vērtība ir vienāda ar kādas rindas vai kolonnas elementu un atbilstošo algebrisko papildinājumu reizinājumu summu.

Algebriskais papildinājums jeb adjunkts ir elementa atbilstošais minors. Ja elements atrodas pāra vietā, tad algebriskajam papildinājumam ir plus zīme, ja nepāra, tad mīnus zīme.

Elementa vietu nosaka pēc elementa rindas un kolonnas numuru summas.

Piemēram, dots elements

a_{32}

. Tā rindas numurs ir 3, bet kolonnas numurs ir 2, tātad elementa rindas un kolonnas numuru summa ir \(3 + 2 = 5\). 5 ir nepāra skaitlis, tātad algebriskajam papildinājumam ir mīnus zīme.

Algebrisko papildinājumu nosaka sekojoši: determinantam ir jāizsvītro izvēlētā elementa atbilstošo rindu un kolonnu. Ja ir izvēlēts elements

a_{32}

, tad jāizsvītro trešo rindu un otro kolonnu.

Rezultātā iegūst algebrisko papildinājumu -

|\begin{array}{l} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array}|

Tātad 5. īpašību var uzrakstīt šādi:

\begin{array}{l} Δ = a_{11} \cdot |\begin{array}{l} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}| + a_{12} \cdot (- |\begin{array}{l} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}|) + a_{13} \cdot |\begin{array}{l} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}| = \\ = a_{11} \cdot |\begin{array}{l} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}| - a_{12} \cdot |\begin{array}{l} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}| + a_{13} \cdot |\begin{array}{l} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}| \end{array}

Piemērs:

\begin{array}{l} Δ = |\begin{array}{l} 1 & - 3 & 2 \\ 4 & 5 & 3 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}| = 1 \cdot |\begin{array}{l} 5 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}| - (- 3) \cdot |\begin{array}{l} 4 & 3 \\ - 2 & 0 \end{array}| + 2 \cdot |\begin{array}{l} 4 & 5 \\ - 2 & 1 \end{array}| = \\ = 1 \cdot (0 - 3) + 3 \cdot (0 - (- 6)) + 2 \cdot (4 - (- 10)) = \\ = - 3 + 18 + 28 = 43 \end{array}

6. Summa, kuru iegūst, saskaitot kādas rindas vai kolonnas elementu reizinājumus ar citas rindas vai kolonnas atbilstošo elementu algebriskajiem papildinājumiem, ir vienāda ar nulli.

Ja determinants ir

|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}|

, tad pirmās rindas atbilstošie algebriskie papildinājumi ir:

|\begin{array}{l} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}|

|\begin{array}{l} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}|

|\begin{array}{l} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}|

. Pirmās rindas vietā var izvēlēties, piemēram, otrās rindas elementus.

Tad iegūst:

a_{21} \cdot |\begin{array}{l} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}| - a_{22} \cdot |\begin{array}{l} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}| + a_{23} \cdot |\begin{array}{l} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}| = 0

Piemērs:

Dota matrica:

(\begin{array}{l} 1 & - 3 & 2 \\ 4 & 5 & 3 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array})

Tad

\begin{array}{l} 4 \cdot |\begin{array}{l} 5 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}| - 5 \cdot |\begin{array}{l} 4 & 3 \\ - 2 & 0 \end{array}| + 3 \cdot |\begin{array}{l} 4 & 5 \\ - 2 & 1 \end{array}| = \\ = - 4 \cdot (0 - 3) + 5 \cdot (0 - (- 6)) - 3 \cdot (4 - (- 10)) = \\ = 12 + 30 - 42 = 0 \end{array}

7. Ja visi kādas rindas vai kolonnas elementi satur kopīgu reizinātāju \(k\), tad to drīkst iznest kā reizinātāju pirms determinanta zīmes.

Piemērs:

|\begin{array}{l} 0 & 8 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \\ 6 & 0 & - 3 \end{array}| = 3 \cdot |\begin{array}{l} 0 & 8 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & - 1 \end{array}|

8. Ja determinantā kādas rindas vai kolonnas visi elementi ir izteikti kā divu saskaitāmo summa, tad determinants ir vienāds ar divu determinantu summu, kuriem attiecīgajā rindā vai kolonnā ņemts viens saskaitāmais.

|\begin{array}{l} a_{11} + a_{11}^{'} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + a_{21}^{'} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + a_{31}^{'} & a_{32} & a_{33} \end{array}| = |\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}| + |\begin{array}{l} a_{11}^{'} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}^{'} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}^{'} & a_{32} & a_{33} \end{array}|

Piemērs:

|\begin{array}{l} 0 + 0 & 8 & 3 \\ 3 + 3 & 5 & 0 \\ 6 + 6 & 0 & - 3 \end{array}| = |\begin{array}{l} 0 & 8 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \\ 6 & 0 & - 3 \end{array}| + |\begin{array}{l} 0 & 8 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \\ 6 & 0 & - 3 \end{array}|

9. Determinanta vērtība nemainās, ja kādas rindas vai kolonnas elementiem pieskaita citas rindas vai kolonnas elementus, kurus pie tam iepriekš drīkst pareizināt ar vienu un to pašu skaitli.

|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}| = |\begin{array}{l} a_{11} + {ka}_{12} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + {ka}_{22} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + {ka}_{32} & a_{32} & a_{33} \end{array}|

Piemērs:

|\begin{array}{l} 0 & 8 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & - 3 \end{array}| = |\begin{array}{l} 0 + 3 \cdot 8 & 8 & 3 \\ 1 + 3 \cdot 5 & 5 & 0 \\ 2 + 3 \cdot 0 & 0 & - 3 \end{array}|

Iepriekšējā tēma

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

1. Determinanti

Teorija