Logaritmiskā atvasināšana — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Logaritmisko atvasināšanu lieto, ja gan funkcijas bāze, gan kāpinātājs ir mainīgi lielumi.

Apskatīsim funkciju

y = x^{x}

. Tās atvasināšanai neder pakāpes funkcijas atvasināšanas formula

{(x^{α})}^{'} = {α x}^{α - 1}

, ne arī eksponentfunkcijas atvasināšanas formula

{(a^{x})}^{'} = a^{x} \ln a

, jo pakāpes funkcijai kāpinātājs $α$ ir konstants skaitlis, eksponentfunkcijai – bāze $a$ ir konstante.

Tāpēc, lai atvasinātu funkciju $y = x^{x}$ , jāizmanto cita metode - logaritmiskā atvasināšana.

Aplūkosim vispārīgu funkciju ${(f (x))}^{g (x)}$ ar mainīgu bāzi un mainīgu kāpinātāju. Lai to varētu atvasināt, funkciju vispirms logaritmēsim ar bāzi $e$: $\ln y = \ln {(f (x))}^{g (x)}$

Izmantosim logaritmu īpašību ${\ln a}^{b} = b \cdot \ln a$ :

$\ln y = g (x) \ln (f (x))$

Atvasināsim abas vienādojuma puses: $\frac{1}{y} \cdot y^{'} = {(g (x) \ln (f (x)))}^{'}$

Svarīgi!

Tātad vispārināti:

$y^{'} = {y \cdot (g (x) \ln (f (x)))}^{'}$

No pēdējās sakarības izteiksim:

$y^{'} = y \cdot (g^{'} (x) \cdot \ln f (x) + g (x) \cdot \frac{1}{f (x)} f^{'} (x))$

$y^{'} = y \cdot (g^{'} (x) \cdot \ln f (x) + g (x) \cdot \frac{f^{'} (x)}{f (x)})$

jeb

$y^{'} = (g^{'} (x) \cdot \ln f (x) + g (x) \cdot \frac{f^{'} (x)}{f (x)}) \cdot {(f (x))}^{g (x)}$

Piemērs:

Atvasināt $y = x^{x}$ !

Risinājums:

$\begin{array}{l} \ln y = \ln x^{x} \\ \ln y = x \cdot \ln x \\ \frac{1}{y} \cdot y^{'} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \\ y^{'} = (\ln x + 1) y \\ y^{'} = (\ln x + 1) x^{x} \end{array}$

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Logaritmiskā atvasināšana

Teorija