Divu taišņu savstarpējais novietojums — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Svarīgi!

Ja divu taišņu

l_{1}

l_{2}

vispārīgie vienādojumi ir

A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0

A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0

, tad tās:

a) ir paralēlas vai sakrīt, ja

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}}

(kur dalījums

\frac{0}{0}

var pieņemt jebkuru vērtību);

b) sakrīt, ja

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}

;

c) ir perpendikulāras, ja

A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0

Svarīgi!

Ja divu taišņu vienādojumi ar virziena koeficientu ir

y = k_{1} x + b_{1}

y = k_{2} x + b_{2}

, tad tās:

a) ir paralēlas vai sakrīt, ja

k_{1} = k_{2}

;

b) sakrīt, ja

k_{1} = k_{2}

b_{1} = b_{2}

;

c) ir perpendikulāras, ja

k_{1} k_{2} = - 1

Pamatojums vispārīgā vienādojuma gadījumā

a) Taisnes ir paralēlas (vai sakrīt) tad un tikai tad, ja to normālvektori

\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1})

\vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2})

ir kolineāri (atrodas uz paralēlām taisnēm) un tātad to koordinātas ir proporcionālas.
No tā iegūst paralelitātes nosacījumu

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}}

b) Taisnes sakrīt tad un tikai tad, ja vienas vispārīgo vienādojumu var iegūt no otras vispārīgā vienādojuma, pareizinot to ar kādu nenulles konstanti

λ \neq 0

(λ A_{1}) x + (λ B_{1}) y + (λ C_{1}) = 0

sakrīt ar vienādojumu

A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0

No tā iegūst nosacījumu

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}

c) Taisnes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normālvektori

\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1})

\vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2})

ir perpendikulāri. Perpendikulāru vektoru skalārais reizinājums ir \(0\).

No tā iegūst nosacījumu

A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0

Pamatojums, ja ir vienādojumi ar virziena koeficientu

Taisnes virziena koeficientu var izteikt kā

k = - \frac{A}{B}

(ja \(B\) nav \(0\)).

a) Tad paralelitātes (vai sakrišanas) nosacījumu iegūst šādi:

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} \Rightarrow \frac{A_{1}}{B_{1}} = \frac{A_{2}}{B_{2}} \Rightarrow - \frac{A_{1}}{B_{1}} = - \frac{A_{2}}{B_{2}} \Rightarrow k_{1} = k_{2}

b) Ja taisnes sakrīt, tad to vienādojumi ar virziena koeficientu arī sakrīt:

k_{1} = k_{2} un b_{1} = b_{2}

c) Perpendikularitātes nosacījumu iegūst šādi:

A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0 \Rightarrow A_{1} A_{2} = - B_{1} B_{2} \Rightarrow \frac{A_{1}}{B_{1}} \frac{A_{2}}{B_{2}} = - 1 \Rightarrow k_{1} k_{2} = - 1

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

4. Divu taišņu savstarpējais novietojums

Teorija