27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Situāciju aprakstā doto informāciju par notikumu biežumu var apkopot iespējamību jeb krustenisko datu tabulās.
 
Aplūkosim piemēru.
 
Kāda populāra mākslinieka izstādes laikā, izlases veidā tika aptaujāti simts apmeklētāji. Informāciju par apmeklētāju vecumu un dzimumu apkopoja biežuma tabulā.
 
Vecums/
dzimums
\(A\)
Jaunāks par
20 gadiem
\(B\)
20-40
gadi
\(C\)
Vecāks par
40 gadiem
Kopā
\(V\)
Vīrietis
30
10
20
60
\(S\)
Sieviete
20
15
5
40
Kopā
50
25
25
100
Kad ir izveidota biežuma tabula, neaizmirsti veikt pašpārbaudi, saskaitot varbūtības pa rindām un kolonnām.
 
Ja nejauši izvēlas vienu klientu, iespējami dažādi notikumi, piemēram:
\(S\) - "apmeklētājs ir sieviete";
S¯ - "apmeklētājs nav sieviete";
\(V\) - "apmeklētājs ir vīrietis";
V¯ - "apmeklētājs nav vīrietis";
\(A\) - "apmeklētājs ir jaunāks par 20 gadiem";
\(B\) - "apmeklētājs ir vecumā no 20 līdz 40 gadiem";
\(C\) - "apmeklētājs ir vecāks par 40 gadiem";
\(S·A\)  - "apmeklētājs ir sieviete un viņa ir jaunāka par 20 gadiem"; 
\(S+A\) -  "apmeklētājs ir sieviete vai arī cilvēks, kas jaunāks par 20 gadiem";
\(A+B\)  - "apmeklētājs ir jaunāks par 20 gadiem vai vecumā no 20 - 40 gadiem".
 
Aprēķināsim šo notikumu varbūtības.
Pavisam ir simts apmeklētāju un no tiem 40 ir sievietes un 60 vīrieši. Katrs apmeklētājs ir vai nu sieviete vai vīrietis, citas iespējas nav. Tātad notikums \(S\) sakrīt ar notikumu V¯, notikums \(V\) sakrīt ar notikumu S¯.
PS=PV¯=0,4PV=PS¯=0,6
 
Arī notikumi \(A,B,C\) veido visu iznākumu kopu. Kopā ir simts apmeklētāji ar trim vecuma posmiem.
P(A)=50100=0,5P(B)=2550=0,25P(C)=2550=0,25
 
Iegūtās varbūtības var sakārtot varbūtību tabulā:
 
Vecums/
dzimums
\(A\)
Jaunāks par
20 gadiem
\(B\)
20-40
gadi
\(C\)
Vecāks par
40 gadiem
Kopā
\(V\)
Vīrietis
30100=0,3
10100=0,1
20100=0,2
60100=0,6
\(S\)
Sieviete
20100=0,2
15100=0,15
5100=0,05
40100=0,4
Kopā
50100=0,5
25100=0,25
25100=0,25
100100=1
 
Kad ir izveidota varbūtību tabula, neaizmirsti veikt pašpārbaudi, saskaitot varbūtības pa rindām un kolonnām.
 
No tabulas viegli nolasīt varbūtības notikumu reizinājumam, piemēram, kāda varbūtība, ka "apmeklētājs ir sieviete un viņa ir jaunāka par 20 gadiem"; 
P(AS)=20100=0,2.
 
Tomēr jābūt ļoti uzmanīgam, kad aprēķina varbūtības notikumu summai.
 
\(S+A\) -  "apmeklētājs ir sieviete vai arī cilvēks, kas jaunāks par 20 gadiem";
Notikumi \(A\) un \(S\) ir savienojami, tāpēc
P(A+S)=P(A)+P(S)P(AS)P(A+S)=0,5+0,40,2=0,7
 
\(A+B\)  - "apmeklētājs ir jaunāks par 20 gadiem vai vecumā no 20 - 40 gadiem";
Notikumi \(A\) un \(B\) ir nesavienojami, tāpēc
P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=0,5+0,25=0,75
 
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Āboltiņa B., Kriķis D., Šteiners K., Matemātika 11. klasei. Rūga: Zvaigzne ABC, 2012, izm. 188.-189.lpp.