Lodi sauc par ievilktu konusā (jeb konusu apvilktu ap lodi), ja lode pieskaras konusa pamatam un visām konusa veidulēm.
Jebkurā konusā var ievilkt lodi.
Konusā ievilkta lode pieskaras konusam tā pamata centrā, bet lodes un veiduļu pieskaršanās punkti veido riņķa līniju.
Ievilktās lodes centrs atrodas konusa augstuma krustpunktā ar tā leņķa bisektrisi, ko veido konusa veidule ar pamata plakni.
Ievilktās lodes centrs atrodas konusa augstuma krustpunktā ar tā leņķa bisektrisi, ko veido konusa veidule ar pamata plakni.
Attēlā redzama lode ar centru \(O\).
Visu konusa veiduļu pieskaršānas punkti ar lodes virsmu veido riņķa līniju ar centru \(A\).
\(OF\) un \(OK\) - lodes rādiusi.
\(AF\) - rādiuss (\(r\)) konusa un lodes šķēluma riņķa līnijai.
\(BO\) - tā leņķa bisektrise, ko konusa veidule veido ar pamata plakni.
Aplūkosim, kā konusā iezīmēt lodi.
Uzzīmē konusu, kur \(S\) - konusa virsotne, \(K\) - pamata riņķa līnijas centrs.
Atrod leņķi, ko konusa veidule veido ar pamatu - , novelk šī leņķa bisektrisi \(CO\), tā krustojas ar konusa augstumu punktā \(O\), kas ir lodes centrs.
Uzzīmē lodi, kuras rādiuss ir \(OK\) (ievēro, ka šo ķermeņu kombināciju skatāmies slīpi no augšas, nevis pretskatā, tāpēc zīmējumā \(K\) neredzam uz riņķa līnijas.
Novelk riņķa līniju, kas ir kopīga lodei un konusam. Atzīmē šīs riņķa līnijas rādiusu \(AF\).
Risinot uzdevumus, parasti zīmē nevis pilnu ķermeņu kombinācijas attēlu, bet tikai ķermeņu kombinācijas šķēlumu ar plakni, kas vilkta caur konusa rotācijas asi. Šādas ķermeņu kombinācijas aksiālšķēlums ir vienādsānu trijstūris, kurā ievilkta riņķa līnija.
Attēlā redzam konusa aksiālšķēlumu - vienādsānu trijstūri \(BSC\), kur \(BS\) un \(CS\) ir konusa veidules.
\(SK\)- konusa augstums.
\(OF\) - lodes rādiuss (\(R\)).
\(AF\) - rādiuss (\(r\)) riņķa līnijai, kas ir kopīga lodei un konusam.
\(OC\) - leņķa \(KCS\) bisektrise.
Uzdevumu risinājumā bieži izmanto bisektrises īpašību un trijstūru līdzību.
Tā kā \(CO\) ir trijstūra \(KSC\) bisektrise, tad pēc bisektrises īpašības:
jeb
Ievērojam, ka , kā taisnleņķa trijstūri, kuros .
Tātad
jeb , kur \(H\) ir konusa augstums, \(l\) - konusa veidule.
Piemērs:
Konusa augstums ir \(12\) un veidule ir \(13\) . Aprēķini konusā ievilktās lodes rādiusu.
Dots: \(KS=12\) , \(CS=13\)
Dots: \(KS=12\) , \(CS=13\)
Jāaprēķina: \(OK\ \)
Risinājums
Izmantosim bisektrises īpašību
jeb
Ar Pitagora teorēmu aprēķina konusa rādiusu
Atbilde: Lodes rādiuss ir .