ONLINE VIDEO KURSS
"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"
Sparal.=d1d22sinβ, kur d1,d2 ir diagonāles, diagonāles veido leņķi β.
Pierādīsim šo sakarību, izmantojot trijstūra laukuma formulu: SΔ=12absinγ, kur γ ir leņķis starp malām \(a\) un \(b\).
YCUZD_221101_4610_Četrstūri_16.svg
 
Paralelograma diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm. Paralelograma laukums ir četru trijstūru laukumu summa, kur trijstūri pa pāriem ir vienādi (pēc pazīmes mlm).
 
SΔDOC=SΔAOB=12ODOCsinβSΔBOC=SΔAOD=12OBOCsin180°βsin180°β=sinβOD=OB=d12OC=d22SΔDOC=SΔAOB=12d12d22sinβSΔBOC=SΔAOD=12d12d22sinβ
 
Ievērojam, ka visu četru trijstūru laukumi ir vienādi.
Saskaitot visu četru trijstūru laukumus (vai pareizinot vienu laukumu ar 4), iegūst paralelograma laukumu:
SABCD=412d12d22sinβSABCD=4d1d2222sinβSABCD=d1d22sinβ
 
Laukuma formula ar diagonālēm ir spēkā jebkuram izliektam četrstūrim S=d1d22sinβ, kur d1,d2 ir diagonāles, diagonāles veido leņķi β.
 
Pierādījums ir līdzīgs iepriekšējam.
Patvaļīgam četrstūrim diagonāles krustpunktā nedalās uz pusēm. Tāpēc diagonāļu nogriežņus apzīmēsim ar \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), kur d1=a+c,d2=b+d.
Uzrakstām četrstūra laukumu kā četru trijstūru laukumu summu, izmantojam, ka sin180°β=sinβ.
 
S=12sinβab+bc+cd+daS=12sinβab+d+cb+dS=12sinβa+cb+dS=12d1d2sinβ
Tas bija jāpierāda.