Četrstūri, kura visas virsotnes atrodas uz riņķa līnijas, sauc par ievilktu četrstūri, bet riņķa līniju - par četrstūrim apvilktu riņķa līniju.
Teorēma. Ievilkta četrstūra pretējo leņķu summa ir \(180\) grādi.
Pierādīsim šo teorēmu.
Dots: \(ABCD\) - ievilkts četrstūris
Jāpierāda:
Pierādījums
Izmantosim teorēmu par riņķī ievilktā leņķa lielumu: ievilkta leņķa lielums ir vienāds ar pusi no loka leņķiskā lieluma, uz kura tas balstās.
Tā kā četrstūra iekšējo leņķu summa ir \(360°\), tad
Tas bija jāpierāda.
Ir spēkā arī apgrieztā teorēma
Apgrieztā teorēma. Ja četrstūra pretējo leņķu summa ir \(180°\), tad ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju.
Pierādīsim šo teorēmu, pieņemot pretējo.
Dots:
Jāpierāda: ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju
Pierādījums
Caur jebkuriem trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, var novilkt riņķa līniju. Iedomāsimies, ka riņķa līnija ir novilkta caur četrstūra virsotnēm \(A\), \(B\) un \(C\), bet neiet caur virsotni \(D\), bet caur kādu citu punktu .
1) Pieņemam, ka virsotne \(D\) atrodas riņķa līnijas iekšpusē.
Pēc tiešās teorēmas: , bet pēc dotā . Var secināt, ka , bet tas nav iespējams, jo trijstūra ārējais leņķis ir lielāks par katru iekšējo leņķi, kas nav tā blakusleņķis. Šajā gadījumā leņķis \(D\) ir trijstūra ārējais leņķis, bet ir iekšējais leņķis.
2) Ja virsotne \(D\) atrodas riņķa ārpusē.
Tātad pēc tiešās teorēmas un pēc dotā.
Var secināt, ka , kas nav iespējams, izdarot iepriekšējos spriedumus par trijstūra ārējo leņķi un iekšējo leņķi, kas nav tā blakusleņķis.
Tātad paliek tikai iespēja, ka virsotne \(D\) atrodas uz riņķa līnijas, kas vilkta caur četrstūra virsotnēm \(A\), \(B\) un \(C\).
Apgrieztā teorēma ir pierādīta.
Uzziņa matemātika II formulu lapā.