7. R un r regulārā n-stūrī. Pierādījums

Regulāru \(n\)-stūri var sadalīt \(n\) vienādos vienādsānu trijstūros. Šo trijstūru sānu malas ir apvilktas riņķa līnijas rādiuss \(R\), bet šo trijstūru augstums pret pamatu ir ievilktas riņķa līnijas rādiuss \(r\).

Katra trijstūra virsotnes leņķis ir centra leņķis, kura lielums ir $\frac{360\mathrm{°}}{n}$.

 

Aplūkosim vienu no šādiem trijstūriem dotajā attēlā - $\mathrm{\Delta }\mathit{COH}$.

Novelkot augstumu \(OA\) (tā ir arī mediāna un bisektrise), iegūst taisnleņķa trijstūri \(AOC\).  Šī trijstūra šaurais leņķis ir $\sphericalangle \mathit{AOC}=\frac{360\mathrm{°}}{n}:2=\frac{180\mathrm{°}}{n}$ un katete $\mathit{AC}=\frac{a}{2}$, kur \(a\) ir regulārā daudzstūra mala.

 

 

Ievilktās riņķa līnijas rādiuss ir šī trijstūra katete, tāpēc to izsaka ar tangensu, bet apvilktās riņķa līnijas rādiuss ir hipotenūza, tāpēc to izsaka ar sinusu taisnleņķa trijstūrī \(AOC.\)

Esam ieguvuši ievilktās riņķa līnijas rādiusu.

 

Esam ieguvuši apvilktās riņķa līnijas rādiusu.

 

Regulāram trijstūrim, četrstūrim un sešstūrim \(R\) un \(r\) parasti rēķina vienkāršāk, neizmantojot dotās formulas.

 

Figūra	Apvilktās riņķa līnijas rādiuss	Ievilktās riņķa līnijas rādiuss
Regulārs trijstūris	$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$	$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$
Regulārs četrstūris (kvadrāts)	$R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ diagonāles puse	$r=\frac{a}{2}$ malas puse
Regulārs sešstūris	\(R= a\)	$r=h_{\mathit{reg}.\mathrm{\Delta }}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ regulāra trijstūra augstums