ONLINE VIDEO KURSS
"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"
No pamatskolas zināma summas kvadrāta formula a+b2=a2+2ab+b2.
No 10.klases zināma summas kuba formulaa+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.
Šīs formulas viegli iegūt, atverot iekavas.
 
Tomēr, jo kāpinātājs kļūst lielāks, iekavas ir vairāk un reizināšanas process var aizņemt daudz laika. Piemēram, a+b4=a+ba+ba+ba+b.
 
Pastāv likumsakarība, kā, atkarībā no kāpinātāja, mainās izvirzījuma locekļu skaits un atbilstoši tam tiek aprēķināti arī paši locekļi.
Izvirzījuma koeficientus var paņemt no *Paskāla trijstūra.
 
 
 
 
\(1\)
 
 
 
 
 
 
 
\(1\)
 
\(1\)
 
 
 
 
 
\(1\)
 
\(2\)
 
\(1\)
 
 
 
\(1\)
 
\(3\)
 
\(3\)
 
\(1\) 
1     
 
\(4\)
 
\(6\)
 
\(4\)
 
    1
 
 
Aplūko, kā veidojas binoma pakāpju izvirzījumi.
Ievēro, ka \(a\) kāpinātājs katrā no nākošiem saskaitāmiem kļūst par \(1\) mazāks, bet \(b\) kāpinātājs par \(1\) pieaug.
 
tabbbbb.PNG
 
Zinām, ka Paskāla trijstūrī katram skaitlim atbilst kombinācija.
    C00    
   C10 C11   
  C20 C21 C22  
 C30 C31 C32 C33 
C40 C41 C42 C43 C44
 
 
Ievēro, ka C00=1;Cnn=1;Cn1=n.
 
Vispārinot binoma formulu jebkuram naturālam kāpinātājam \(n\), iegūst Ņūtona binoma formulu.
Binoma a+bn izvirzījuma koeficienti sakrīt ar Paskāla trijstūra \(n\)-to rindiņu jebkurai \(n\) vērtībai.
Ievēro - Paskāla trijstūrī rindiņas numurē, sākot ar \(0\)-to rindiņu.
 
Par Ņūtona binoma formulu sauc
 
a+bn==Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+...+Cnkankbk+...+Cnn1a1bn1+Cnna0bn
 
a+bn=k=0nCnkankbk\( =\)k=0nCnkakbnk
  
Formulas labo pusi sauc par pakāpes izvirzījumu.
Cnk sauc par binominālajiem koeficientiem.
 
Tātad 
a+b0=1a+b1=1a+1ba+b2=1a2+2ab+1b2a+b3=1a3+3a2b+3ab2+1b3a+b4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4...     
 
Aplūkosim piemēru, kā rīkojas, ja kāpina nevis summu, bet starpību.
Piemērs:
Uzraksti binoma izvirzījumu!
xy5==x+(y)5==1x5+5x4(y)1+10x3(y)2+10x2(y)3+5x1(y)4+1(y)5==x55x4y+10x3y210x2y3+5xy4y5 
Mīnusa zīme paliek vai pārvēršas par plusu, atkarībā no \(y\) kāpinātāja.
 
Kad izvēlēties lietot Paskāla trijstūri ar skaitļiem, kad ar kombinācijām?
 
Tas atkarīgs no tā, cik liels ir kāpinātājs \(n\) un vai prasīts viss izvirzījums. Piemēram, ja Tev jautā, cik ir 1a12 izvirzījuma 9. loceklis, tad noteikti nezīmēsi Paskāla trijstūri ar desmit rindiņām, bet izmantosi kombinācijas.
Piemērs:
Nosaki 1a12 izvirzījuma 9. locekli.
 
Risinājums
Cnkxnkyk - \(k\)-tais loceklis.
1+a12n=12,k=9C1291129a9=220a9
 
Jo C129=12!3!9!=1211109!3!9!=220.
 
Uzmanīgi! Ņūtona izvirzījuma locekļu numerācija ir no nulltā:  \(0., 1.,\)\(\ 2., 3., …\)
9. loceklis nav 9. saskaitāmais. Jo saskaitāmos numurē tā, kā ikdienā pieraksts skaitīt objektus:  \(1., 2., 3., …\)
  
Atbilde: Devītais loceklis ir 220a9 (bet kā saskaitāmais tas būtu desmitais pēc kārtas).
Noskaties Mācību video:
 
 
Paskāla trijstūra pirmās 11 rindas.
paskalatrijsturismmmm.svg
 
Ņūtona binoma formula ir dota Matemātika II formulu 1. lapā
formulas.png
 
*Blēzs Paskāls (1623-1662) - franču fiziķis, matemātiķis, filozofs un literāts.