Prizmas minimālā virsma. Atvasinājums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

Aplūkosim ekstrēma uzdevumu. Izmanto pirmo un otro atvasinājumu.

Piemērs:
Dota regulāra trijstūra prizma, kuras tilpums ir \(V\). Kādam jābūt pamata malas garumam, lai prizmas virsmas laukums būtu vismazākais?

Risinājums

\(x\) … pamata malas garums.

No tilpuma formulas izsaka augstumu \(H\):

\begin{array}{l} V = S_{Δ} H \Rightarrow H = \frac{V}{S_{Δ}} \\ S_{Δ} = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} \\ H = \frac{V}{\frac{x^{2} \sqrt{3}}{4}} = \frac{4 V}{x^{2} \sqrt{3}} = \frac{4 V \sqrt{3}}{3 x^{2}} \end{array}

Uzraksta pilnas virsmas laukuma izteiksmi.

Sānu virsmu veido trīs taisnstūri, kuriem viena mala ir \(x\) un otra mala ir augstums \(H\).

\begin{array}{l} S_{p . v .} = 2 S_{Δ} + 3 S_{taisn .} \\ S_{p . v .} = 2 \cdot \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 x \cdot \frac{4 V \sqrt{3}}{3 x^{2}} \\ S_{p . v .} = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{4 V \sqrt{3}}{x} \end{array}

Iegūta pilnas virsmas laukuma funkcija, kas atkarīga no malas garuma \(x\).

Atvasina virsmas laukuma funkciju:

\begin{array}{l} S^{'} (x) = {(\frac{x^{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{4 V \sqrt{3}}{x})}^{'} \\ S^{'} (x) = \frac{2 x \sqrt{3}}{2} + 4 V \sqrt{3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{'} \\ S^{'} (x) = x \sqrt{3} + 4 V \sqrt{3} \cdot (- \frac{1}{x^{2}}) \\ S^{'} (x) = x \sqrt{3} - \frac{4 V \sqrt{3}}{x^{2}} \end{array}

Aprēķina kritisko punktu:

\begin{array}{l} x \sqrt{3} - \frac{4 V \sqrt{3}}{x^{2}} = 0 \\ \sqrt{3} (x - \frac{4 V}{x^{2}}) = 0 \\ x - \frac{4 V}{x^{2}} = 0 \\ \frac{x}{1} = \frac{4 V}{x^{2}} \\ x^{3} = 4 V \\ x = \sqrt[3]{4 V} \end{array}

Noskaidrosim, vai iegūtais kritiskais punkts ir minimuma punkts.

Šajā gadījumā grūti pārbaudīt atvasinātās funkcijas zīmes definīcijas apgabala intervālos. Tāpēc var izmantot teorēmu par otro atvasinājumu:

Ja kritiskajā punktā funkcijas otrā atvasinājuma vērtība ir pozitīva, tad tas ir minimuma punkts.

S^{″} (x) = {(x \sqrt{3} - \frac{4 V \sqrt{3}}{x^{2}})}^{'} = \sqrt{3} - 4 V \sqrt{3} {(\frac{1}{x^{2}})}^{'} = \sqrt{3} + \frac{2 \cdot 4 V \sqrt{3}}{x^{3}} > 0

{(\frac{1}{x^{2}})}^{'} = {(x^{- 2})}^{'} = - 2 x^{- 3} = \frac{- 2}{x^{3}}

Tā kā visas konstantes un \(x\) ir pozitīvi skaitļi, var secināt, ka otrā atvasinājuma vērtība ir pozitīva jebkuram malas garumam \(x\).

Tātad iegūtais kritiskais punkts ir minimuma punkts, kurā prizmas virsmas laukums pie dotā tilpuma sasniedz vismazāko vērtību.

Atbilde: Lai prizmas virsmas laukums būtu vismazākais, pamata malas garumam jābūt

\sqrt[3]{4 V}

Atradi kļūdu?

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

2. Prizmas minimālā virsma. Atvasinājums