Kastes maksimalais tilpums. Atvasinājums. — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

Piemērs:

Kartona lapas izmēri ir $8$ $dm$ un $5$ $dm$ . Izgriežot stūros vienādus kvadrātus un apmales atlokot, jāizveido kastīte ar vislielāko tilpumu. Sastādi funkcionālo sakarību $V(x)$, kur $V$ - kastītes tilpums un $x$ - izgriezta kvadrāta malas garums.

Aprēķini kastītes maksimālo tilpumu, izmantojot atvasinājumu!

Risinājums

$x$ ... tik

dm

ir kastes augstums,

$8-2x$ ... tik

dm

ir kastes garums,

$5-2x$ ... tik

dm

ir kastes platums.

Uzraksta tilpumu:

\begin{array}{l} V (x) = (8 - 2 x) (5 - 2 x) \cdot x \\ V (x) = 40 x - 26 x^{2} + 4 x^{3} \end{array}

Nosaka definīcijas apgabalu. Kastes, augstums, garums un platums ir pozitīvi skaitļi:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} 8 - 2 x > 0 \\ 5 - 2 x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \{\begin{cases} x < 4 \\ x < 2,5 \\ x > 0 \end{cases} \\ x \in (0; 2,5) \end{array}

Atrod funkcijas kritiskos punktus.

1) Atvasina tilpuma funkciju:

\begin{array}{l} V^{'} (x) = {(40 x - 26 x^{2} + 4 x^{3})}^{'} = \\ = 40 - 26 \cdot 2 x + 43 \cdot 3 x^{2} = \\ = 40 - 52 x + 12 x^{2} \end{array}

2) Atvasinājumu pielīdzina nullei:

\begin{array}{l} V^{'} (x) = 0 \\ 40 - 52 x + 12 x^{2} = 0 \\ 12 x^{2} - 52 x + 40 = 0 | : 4 \\ 3 x^{2} - 13 x + 10 = 0 \\ x_{1} = 1; x_{2} = 3 \frac{1}{3} \end{array}

Nosaka ekstrēmus definīcijas apgabalā:

$x$	$(- \infty; 1)$	$(1; 3 \frac{1}{3})$	$(3 \frac{1}{3}; + \infty)$
$V^{'} (x)$	$+$	$-$	$+$
$V(x)$	aug $↗$	dilst $↘$	aug $↗$

Secinām, ka $x=1$ ir maksimuma punkts. Funkcija ir nepārtraukta, tāpēc tai intervālā $(0;2,5)$ ir tikai viens ekstrēma punkts - maksimuma punkts. Tātad funkcijai $V(x)$ šajā punktā ir vislielākā vērtība.

Aprēķinām lielāko vērtību:

$V(1) = 40-26+4=18$ (

{dm}^{3}

)

Atbilde: Funkcionālā sakarība

V (x) = 40 x - 26 x^{2} + 4 x^{3}

, maksimālais tilpums ir $18$

{dm}^{3}

VISC piedāvātie vērtēšanas kritēriji eksāmenā

1 punkts	Iegūst funkcionālo sakarību $V(x).$
1 punkts	Aprēķina funkcijas atvasinājumu.
1 punkts	Nosaka funkcijas kritiskos punktus.
2 punkti	Pamato maksimuma punktu un aprēķina funkcijas maksimālo vērtību.
1 punkts	Izdara secinājumu par $x > 3 \frac{1}{3}$ / nosaka definīcijas apgabalu.

Iepriekšējā tēma

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

1. Kastes maksimalais tilpums. Atvasinājums.

Teorija