27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Aplūkosim kā īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.
 
Vidusskolas kursā atkarībā no saucēja polinoma saknēm aplūko divu veidu elementārdaļas:
1) katrai reālai vienkāršai saknei \(a\) atbilst elementārdaļa Axa.
2) reālai saknei \(a\) ar kārtu \(k (k>\)\(1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas A1xa+A2xa2+...+Akxak.
Katru elementārdaļu integrē atsevišķi.
 
Aplūkosim piemēru otrajam veidam, kurā saucēja saknes kārta ir \(k=2\).
Piemērs:
Nosaki integrāli 2x1x22x+1dx!
Sadalīsim elementārdaļās izteiksmi 2x1x22x+1.
Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējs ir starpības kvadrāts. Saucēja sakne \(x=1\) ir otrās kārtas sakne.
x22x+1=x12=x1x1
 
Uzraksta sadalījumu elementārdaļās: 
2x1x22x+1=2x1x12=Ax1+Bx12
Tā kā ir tikai divi koeficienti, pieraksta vienkāršības dēļ, otro koeficientu apzīmē ar \(B.\)
 
Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:
 
2x1x22x+1=A(x1x1+Bx122x1x22x+1=Ax1+Bx22x+1
 
Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:
2x1=AxA+BAxA+B=2x1
 
Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.
1) \(x\) vietā ievietosim sakni
Ja \(x=1\), tad
A1A+B=211B=1
 
2) Lai iegūtu \(A\) vērtību, var rīkoties dažādi.
Mēs ievietosim iegūto \(B\) vērtību un izvēlēsimies \(x=0\)
A0A+1=201A+1=1A=2A=2
 
Tātad dotās funkcijas sadalījums elementārdaļās ir:
2x1x22x+1=2x1+1x12
 
Integrē doto funkciju.
Nosakot integrāli, ievēro, ka otro elementārdaļu integrē kā pakāpi, pārejot uz citu diferenciāli.
1u2du=u2dx=u11+C=1u+C
 
Tātad
2x1x22x+1dx==2x1+1x12dx==21x1dx1x12dx==2lnx11x1+C
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs