Integrālis, nenoteikto koeficientu metode 2. kārtas saknei — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Aplūkosim kā īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.

Vidusskolas kursā atkarībā no saucēja polinoma saknēm aplūko divu veidu elementārdaļas:

1) katrai reālai vienkāršai saknei \(a\) atbilst elementārdaļa

\frac{A}{x - a}

2) reālai saknei \(a\) ar kārtu \(k\) (\(k>1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas

\frac{A_{1}}{x - a} + \frac{A_{2}}{{(x - a)}^{2}} + ... + \frac{A_{k}}{{(x - a)}^{k}}

Katru elementārdaļu integrē atsevišķi.

Aplūkosim piemēru otrajam veidam, kurā saucēja saknes kārta ir \(k=2\).

Piemērs:

Nosaki integrāli

\int \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1} dx

Sadalīsim elementārdaļās izteiksmi

\frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}

Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējs ir starpības kvadrāts. Saucēja sakne \(x=1\) ir otrās kārtas sakne.

x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2} = (x - 1) (x - 1)

Uzraksta sadalījumu elementārdaļās:

\frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}

Tā kā ir tikai divi koeficienti, pieraksta vienkāršības dēļ, otro koeficientu apzīmē ar \(B.\)

Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:

\begin{array}{l} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{A^{(x - 1}}{x - 1} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} \\ \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{A (x - 1) + B}{x^{2} - 2 x + 1} \end{array}

Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:

\begin{array}{l} 2 x - 1 = Ax - A + B \\ Ax - A + B = 2 x - 1 \end{array}

Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.

1) \(x\) vietā ievietosim sakni

Ja \(x=1\), tad

\begin{array}{l} A \cdot 1 - A + B = 2 \cdot 1 - 1 \\ B = 1 \end{array}

2) Lai iegūtu \(A\) vērtību, var rīkoties dažādi.

Mēs ievietosim iegūto \(B\) vērtību un izvēlēsimies \(x=0\)

\begin{array}{l} A \cdot 0 - A + 1 = 2 \cdot 0 - 1 \\ - A + 1 = - 1 \\ - A = - 2 \\ A = 2 \end{array}

Tātad dotās funkcijas sadalījums elementārdaļās ir:

\frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}

Integrē doto funkciju.

Nosakot integrāli, ievēro, ka otro elementārdaļu integrē kā pakāpi, pārejot uz citu diferenciāli.

\int \frac{1}{u^{2}} du = \int u^{- 2} du = \frac{u^{- 1}}{- 1} + C = - \frac{1}{u} + C

Tātad

\begin{array}{l} \int \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1} dx = \\ = \int (\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}) dx = \\ = 2 \int \frac{1}{x - 1} dx + \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} dx = \\ = 2 \ln |x - 1| - \frac{1}{x - 1} + C \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

Atradi kļūdu?

4. Integrālis, nenoteikto koeficientu metode 2. kārtas saknei