Integrēšana, reizinātāju panesot zem diferenciāļa zīmes — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

Dota funkcija

y = f (x)

. Ir zināms, ka

y^{'} = \frac{dy}{dx}

Funkcijas

y = f (x)

diferenciālis ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma un argumenta diferenciāļa reizinājumu

dy = y^{'} dx

Sakarība starp integrāļiem, ja funkciju diferenciāļi atšķiras par saskaitāmo \(c\), kur \(c\) – reāls skaitlis

Tā kā

d (x \pm c)) = {(x \pm c)}^{'} dx

, tad, izteiksmei aiz diferenciāļa zīmes pieskaitot vai atņemot konstanti, diferenciālis nemainās:

dx = d (x \pm c)

Sakarība starp integrāļiem, ja funkciju diferenciāļi atšķiras ar konstantu reizinātāju

d (kx) = {(kx)}^{'} dx = kdx

, jo konstantu reizinātāju \(k\) var iznest pirms atvasinājuma zīmes.

Tāpēc, reizinot izteiksmi aiz diferenciāļa simbola ar konstanti \(k\), diferenciālis jāreizina ar konstantei apgriezto lielumu

\frac{1}{k}

dx = \frac{1}{k} d (kx)

Sakarība starp integrāļiem, ja funkciju diferenciāļi atšķiras gan par saskaitāmo, gan ar konstantu reizinātāju

dx = d (x \pm c)

dx = \frac{1}{k} d (kx)

, varam secināt, ka

dx = \frac{1}{k} d (kx \pm c)

Šo darbību - panešanu zem diferenciāļa, izmanto, aprēķinot nenoteikto integrāli.

Ja \(u=u(x)\) un doto nenoteikto integrāli ir iespējams pārveidot formā

\int f (u) \cdot u^{'} (x) dx = \int f (u) du

, tad

\int f (u) du = F (u) + C

. Tas nozīmē, ka visas integrēšanas formulas saglabājas, ja \(x\) vietā ir funkcija \(u=u(x).\)

Piemērs:

Atrodi integrāli, par integrēšanas mainīgo lielumu uzskatot izteiksmi zem diferenciāļa simbola.

\int {(2 x + 1)}^{4} d (2 x + 1) = \frac{{(2 x + 1)}^{4 + 1}}{4 + 1} + C = \frac{{(2 x + 1)}^{5}}{5} + C

Skaidrojums: apzīmējot

u = 2 x + 1,

iegūst integrāli

\int u^{4} du

, kuru integrējot pēc pamatformulas iegūst

\frac{u^{5}}{5} + C

\int e^{3 - 4 x} d (3 - 4 x) = e^{3 - 4 x} + C

Ja apzīmē

u = 3 - 4 x

, tad

\int e^{u} du = e^{u} + C

Var veidot sekojošu saīsināto pierakstu:

\int e^{3 - 4 x} d (3 - 4 x) = [u = 3 - 4 x, \int e^{u} du = e^{u} + C] = e^{3 - 4 x} + C

Parasti uzdevumos nepieciešamo konstanti zem diferenciāļa ir jāpanes pašam.

1. Atrodi integrāli, vispirms panesot zem diferenciāļa zīmes nepieciešamo konstanti. Izmanto likumu

dx = d (x \pm c)

\int {(x - 6)}^{4} dx = \int {(x - 6)}^{4} d (x - 6) =

= [u = x - 6, \int u^{4} du = \frac{u^{5}}{5} + C] = \frac{{(x - 6)}^{5}}{5} + C

2. Atrodi integrāli, vispirms panesot zem diferenciāļa zīmes nepieciešamo konstanti. Izmanto likumu

dx = \frac{1}{k} d (kx)

\int \sin 8 x = \int \frac{1}{8} \sin 8 x d (8 x) = [u = 8 x, \int \sin u du = - \cos u + C] = - \frac{1}{8} \cos 8 x + C

3. Atrodi integrāli, vispirms panesot zem diferenciāļa zīmes nepieciešamo konstanti. Izmanto likumu

dx = \frac{1}{k} d (kx \pm c)

{\int (7 x - 6)}^{4} dx = \frac{1}{7} \int {(7 x - 6)}^{4} d (7 x - 6) =

= [u = 7 x - 6, \int u^{4} du = \frac{u^{5}}{5} + C] =

= \frac{1}{7} \cdot \frac{{(7 x - 6)}^{5}}{5} + C = \frac{{(7 x - 6)}^{5}}{35} + C

Aiz diferenciāļa simbola drīkst ienest ne tikai konstanti, bet arī funkciju, bet šādas darbības nav paredzētas vidusskolas kursā. Tāpat vidusskolas standartā nav paredzēta integrēšana ar substitūcijas metodi.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

2. Integrēšana, reizinātāju panesot zem diferenciāļa zīmes

Teorija