10. jūnijs - MATEMĀTIKA I
EKSĀMENS VIDUSSKOLAI
Dota funkcija y=fx. Ir zināms, ka y=dydx.
Funkcijas y=fx diferenciālis ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma un argumenta diferenciāļa reizinājumu dy=ydx.
 
Sakarība starp integrāļiem, ja funkciju diferenciāļi atšķiras par saskaitāmo \(c\), kur \(c\) – reāls skaitlis
 
Tā kā dx±c)=x±cdx, tad, izteiksmei aiz diferenciāļa zīmes pieskaitot vai atņemot konstanti, diferenciālis nemainās:
dx=dx±c 
 
Sakarība starp integrāļiem, ja funkciju diferenciāļi atšķiras ar konstantu reizinātāju
  
dkx=kxdx=kdx, jo konstantu reizinātāju \(k\) var iznest pirms atvasinājuma zīmes.
Tāpēc, reizinot izteiksmi aiz diferenciāļa simbola ar konstanti \(k\), diferenciālis jāreizina ar konstantei apgriezto lielumu 1k.
dx=1kdkx 
 
Sakarība starp integrāļiem, ja funkciju diferenciāļi atšķiras gan par saskaitāmo, gan ar konstantu reizinātāju
Ja dx=dx±c un dx=1kdkx, varam secināt, ka
dx=1kdkx±c 
Šo darbību - panešanu zem diferenciāļa, izmanto, aprēķinot nenoteikto integrāli.
 
Ja \(u=u(x)\) un doto nenoteikto integrāli ir iespējams pārveidot formā f(u)uxdx=fudu, tad fudu=F(u)+C. Tas nozīmē, ka visas integrēšanas formulas saglabājas, ja \(x\) vietā ir funkcija \(u=u(x).\)
Piemērs:
Atrodi integrāli, par integrēšanas mainīgo lielumu uzskatot izteiksmi zem diferenciāļa simbola.
a) 2x+14d2x+1=2x+14+14+1+C=2x+155+C
Skaidrojums: apzīmējot u=2x+1, iegūst integrāli u4du, kuru integrējot pēc pamatformulas iegūst u55+C.
 
 
b) e34xd34x=e34x+C
Ja apzīmē u=34x, tad eudu=eu+C.
 
Var veidot sekojošu saīsināto pierakstu:
e34xd34x=u=34x,eudu=eu+C=e34x+C
Parasti uzdevumos nepieciešamo konstanti zem diferenciāļa ir jāpanes pašam.
 
1. Atrodi integrāli, vispirms panesot zem diferenciāļa zīmes nepieciešamo konstanti. Izmanto likumu dx=dx±c!
 
x64dx=x64dx6=
=u=x6,u4du=u55+C=x655+C
 
 
2. Atrodi integrāli, vispirms panesot zem diferenciāļa zīmes nepieciešamo konstanti. Izmanto likumu dx=1kdkx!
 
sin8x=18sin8xd8x=u=8x,sinudu=cosu+C=18cos8x+C.
 
 
3. Atrodi integrāli, vispirms panesot zem diferenciāļa zīmes nepieciešamo konstanti. Izmanto likumu dx=1kdkx±c!
 
7x64dx=177x64d7x6=
=u=7x6,u4du=u55+C=
=177x655+C=7x6535+C
 
Aiz diferenciāļa simbola drīkst ienest ne tikai konstanti, bet arī funkciju, bet šādas darbības nav paredzētas vidusskolas kursā. Tāpat vidusskolas standartā nav paredzēta integrēšana ar substitūcijas metodi.