Nenoteikto koeficientu metode saknei ar otro kārtu — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna tēma

"Atvasinājums un tā lietojums"

Īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.

1) Katrai reālai vienkāršai saknei atbilst elementārdaļa

\frac{A}{x - a}

2) Reālai saknei ar kārtu \(k\) (\(k>1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas

\frac{A_{1}}{x - a} + \frac{A_{2}}{{(x - a)}^{2}} + ... + \frac{A_{k}}{{(x - a)}^{k}}

Aplūkosim piemēru otrajam veidam, kurā saucēja saknes kārta ir \(k=2\).

Piemērs:

Sadali elementārdaļās izteiksmi

\frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1}

Risinājums.

Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējs ir starpības kvadrāts. Saucēja sakne \(x=1\) ir otrās kārtas sakne:

x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2} = (x - 1) (x - 1)

Uzraksta sadalījumu elementārdaļās:

\frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2 x - 3}{(x - 1) (x - 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}

Tā kā ir tikai divi koeficienti, pieraksta vienkāršības dēļ otro koeficientu apzīmē ar \(B.\)

Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:

\begin{array}{l} \frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{A^{(x - 1}}{x - 1} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} \\ \frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{A (x - 1) + B}{x^{2} - 2 x + 1} \end{array}

Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:

\begin{array}{l} 2 x - 3 = Ax - A + B \\ Ax - A + B = 2 x - 3 \end{array}

Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.

1) \(x\) vietā ievietosim sakni

Ja \(x=1\), tad

\begin{array}{l} A \cdot 1 - A + B = 2 \cdot 1 - 3 \\ B = - 1 \end{array}

2) Lai iegūtu \(A\) vērtību, var rīkoties dažādi.

Mēs ievietosim iegūto \(B\) vērtību un izvēlēsimies \(x=0\)

\begin{array}{l} A \cdot 0 - A - 1 = 2 \cdot 0 - 3 \\ - A + 1 = - 3 \\ - A = - 2 \\ A = 2 \end{array}

Tātad dotās funkcijas sadalījums elementārdaļās ir:

\begin{array}{l} \frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} \\ \frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

Atradi kļūdu?

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

2. Nenoteikto koeficientu metode saknei ar otro kārtu