Teorija

Īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.
1) Katrai reālai vienkāršai saknei atbilst elementārdaļa Axa.
2) Reālai saknei ar kārtu \(k\) (\(k>1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas A1xa+A2xa2+...+Akxak.
 
 
Aplūkosim piemēru otrajam veidam, kurā saucēja saknes kārta ir \(k=2\).
Piemērs:
Sadali elementārdaļās izteiksmi 2x3x22x+1.
Risinājums.
Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējs ir starpības kvadrāts. Saucēja sakne \(x=1\) ir otrās kārtas sakne:
x22x+1=x12=x1x1.
 
Uzraksta sadalījumu elementārdaļās: 
2x3x22x+1=2x3x1x1=Ax1+Bx12
 
Tā kā ir tikai divi koeficienti, pieraksta vienkāršības dēļ, otro koeficientu apzīmē ar \(B.\)
Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:
 
2x3x22x+1=A(x1x1+Bx122x3x22x+1=Ax1+Bx22x+1
 
Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:
2x3=AxA+BAxA+B=2x3
 
Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.
1) \(x\) vietā ievietosim sakni
Ja \(x=1\), tad
A1A+B=213B=1
 
2) Lai iegūtu \(A\) vērtību, var rīkoties dažādi.
Mēs ievietosim iegūto \(B\) vērtību un izvēlēsimies \(x=0\)
A0A1=203A+1=3A=2A=2
 
Tātad dotās funkcijas sadalījums elementārdaļās ir:
2x3x22x+1=2x1+1x122x3x22x+1=2x11x12
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs