Teorija

Par daļveida racionālu funkciju sauc divu polinomu attiecību. 
Ja skaitītāja polinoma pakāpe ir mazāka nekā saucēja polinoma pakāpe, tad šo polinomu attiecību sauc par īstu daļveida racionālu funkciju.
Piemēram, 1x2;x+4x22x+3;xx21.
 
Katru īstu daļveida racionālu funkciju var izteikt kā summu, kuras saskaitāmie ir visvienkāršākās algebriskās daļas - elementārdaļas.
 
Aplūkosim kā īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.
 
Vidusskolas kursā aplūko tikai divu veidu elementārdaļas - reālām saknēm.
 
1) Katrai reālai vienkāršai saknei atbilst elementārdaļa Axa.
2) Reālai saknei ar kārtu \(k\) (\(k>1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas A1xa+A2xa2+...+Akxak.
 
Kad īsta daļveida racionāla funkcija ir izteikta kā atbilstošo elementārdaļu summa, tad
1) vienādo saucējus;
2) pielīdzinot iegūto skaitītāju dotās funkcijas skaitītājam, aprēķina nezināmos koeficientus.
Piemērs:
Sadali elementārdaļās izteiksmi 1x27x+12.
Risinājums.
Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējam ir divas dažādas reālas saknes \(3\) un \(4\).
x27x+12=x4x3
 
Var uzrakstīt sadalījumu elementārdaļās: 
1x27x+12=1x4x3=Ax4+Bx3
 
Skaitītāji nav zināmi, tāpēc tos apzīmē ar burtiem \(A\) un \(B\).
Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:
 
1x27x+12=A(x3x4+Bx4x31x27x+12=Ax3+Bx4x27x+121x27x+12=Ax3A+Bx4Bx27x+12
 
Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:
1=Ax3A+Bx4BAx3A+Bx4B=1
 
Ir dažādi veidi, kā noteikt \(A\) un \(B\).
Aprēķināsim šos koeficientus, \(x\) vietā ievietojot konkrētas vērtības. Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.
 
1) \(x =4\), tad
A43A+B44B=14A3A+4B4B=11A0=1A=1
Pagaidām iegūto \(A\) neizmantosim.
 
2) \(x\) vietā ievietosim otru sakni.
Ja \(x=3\), tad
A33A+B34B=101B=1B=1
 
Tātad
1x27x+12=1x4+1x31x27x+12=1x41x3
 
Nākošā teorijā aplūkosim 2) gadījumu, kad saucēja sakne ir ar kārtu \(k\) (\(k>1\)).
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.