Vektora projekcija, ja dots leņķis — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

Vektora projekciju uz ass var noteikt, ja ir dots

vektora sākumpunkta un galapunkta koordinātas;
vektora garums un tā veidotais leņķis ar projekciju asi.

Aplūkosim otro gadījumu.

Ja vektora

\vec{a}

garums ir

|\vec{a}|

α

ir leņķis, ko vektors veido ar projekciju asi, tad vektora projekciju aprēķina pēc formulas

{proj}_{x} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos α

Ja leņķis ir šaurs, šo formulu viegli iegūt no sakarības taisnleņķa trijstūrī (skat. attēlu):

\begin{array}{l} \cos α = \frac{piekatete}{hipotenūza} \\ \cos α = \frac{{proj}_{x} \vec{a}}{|\vec{a}|} \end{array}

{proj}_{x} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos α

Vektora projekcija uz ass

ir pozitīvs skaitlis, ja vektors ar ass pozitīvo virzienu veido šauru leņķi, jo kosinusa vērtība šauram leņķim ir pozitīvs skaitlis (skat. vienības riņķī);
ir negatīvs skaitlis, ja vektors ar ass pozitīvo virzienu veido platu leņķi, jo kosinusa vērtība platam leņķim ir negatīvs skaitlis.

Piemērs:

Aprēķini vektora

\vec{p}

projekciju uz \(Oy\) ass, ja leņķis

α = 135 °

un vektora garums

|\vec{p}| = 4

. Rezultātu noapaļo līdz desmitdaļām.

Risinājums

Tā kā vektors ar \(Oy\) asi veido platu leņķi, secinām, ka projekcija ir negatīvs skaitlis. Tomēr atsevišķi mīnusa zīmi nav jāliek, risinājumā to iegūst ar kosinusa vērtību II kvadranta (platam) leņķim.

\begin{array}{l} {proj}_{y} \vec{p} = |\vec{p}| \cdot \cos α \\ {proj}_{y} \vec{p} = |\vec{p}| \cdot \cos 135 ° \\ {proj}_{y} \vec{p} = 4 \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \approx -2,8 \end{array}

Vektora projekcijas formula nav dota formulu lapā. Tāpēc aplūkosim, kā iegūt vektora projekciju, izmantojot pamatskolas ģeometrijas zināšanas.

Uzzīmējam trijstūri, kura hipotenūza ir vienāda ar vektora garumu, bet katete ir projekcija uz \(Oy\) ass.

∢ EAC = 180 ° - 135 ° = 45 °

Lietojam sakarību taisnleņķa trijstūrī \(ACE\):

\begin{array}{l} \cos 45 ° = \frac{AE}{AC} \\ \cos 45 ° = \frac{|{proj}_{y} \vec{p}|}{|\vec{p}|} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|{proj}_{y} \vec{p}|}{4} \\ |{proj}_{y} \vec{p}| = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \end{array}

Taču jābūt ļoti vērīgam! Mēs ieguvām projekcijas moduli. Jo trijstūra malas garums nav negatīvs skaitlis. Šajā gadījumā risinājumā nerodas mīnusa zīme un tā ir jāpievieno atbildē.

Tā kā vektors ar \(Oy\) asi veido platu leņķi, tad projekcija ir negatīvs skaitlis.

{proj}_{y} \vec{p} = - 2 \sqrt{2} \approx -2,8

Trigonometriskais vienības riņķis

Formulu lapsTrigonometriskaisrinķisar radiāniem.svg

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

3. Vektora projekcija, ja dots leņķis

Teorija