Nevienādību sistēmas — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 9. KLASEI"

Par nevienādību sistēmu sauc divas vai vairākas nevienādības, kurām jāatrod visi kopīgie atrisinājumi (ja vien tādi eksistē). Nevienādību sistēmas atrisinājums ir visi skaitļi, kurus ievietojot visās sistēmas nevienādībās, iegūst patiesas skaitliskas nevienādības.

Atrisināt nevienādību sistēmu nozīmē atrast visus skaitļus, kuri veido patiesu skaitlisko nevienādību, vai arī pierādīt, ka nevienādību sistēmai nav atrisinājuma

x \in \emptyset

Lai atrisinātu nevienādību sistēmu, ir nepieciešams:

atrisināt katru nevienādību atsevišķi;
atrast nevienādību atrisinājumu kopu kopīgo daļu (jeb šķēlumu).

Piemērs:

Atrisini nevienādību sistēmu

\{\begin{cases} - 2 x^{2} + 3 x + 2 < 0 \\ x - 5 \leq 0 \end{cases}

Risinājums:

1. Kvadrātnevienādība.

Lai atrisinātu kvadrātnevienādību, izteiksme vienmēr ir jāpielīdzina nullei un ir jāatrod saknes:

\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 3 x + 2 = 0 |\cdot (- 1) \\ 2 x^{2} - 3 x - 2 = 0 \\ D = b^{2} - 4 ac = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25 \\ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \\ x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} \end{array}

2. Lineāra nevienādība.

\begin{array}{l} x - 5 \leq 0 \\ x \leq 5 \end{array}

Lai atrastu atbildi, uzzīmēsim divas koordinātu asis un uz katras uzzīmēsim nevienādības atrisinājumu.

1. Kvadrātvienādojuma saknes (parabolas krustpunktus ar \(x\) asi) ir nepieciešams atlikt uz koordinātu ass un jāuzskicē parabola. Šoreiz parabolas zari ir vērsti uz leju, jo koeficients \(a=-2\). Iekrāso negatīvo intervālu, uz ko norāda nevienādības zīme (porabolas daļu, kas atrodas zem \(x\) ass). Nevienādības zīme ir stingra, tāpēc punkti ir tukši.

2. Uz otras ass atliekam punktu \(5\) un iesvītrojam pa kreisi no skaitļa \(5\). Punkts ir pilns, jo zīme ir nestingra.