Funkciju, kuras vispārīgais veids ir y=ax2+bx+c, kur \(a\), \(b\), \(c\) ir reāli skaitļi un a0, sauc par kvadrātfunkciju.
Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.
 
Definīcijas apgabals \(D(f)\) ir visi reālie skaitļi (kādas vērtības var ievietot \(x\) vietā).
Vērtību apgabalu \(E(f)\) nolasa no grafika. Tas ir atkarīgs no parabolas virsotnes \(y\) koordinātas un no zaru vērsuma (kādas vērtības var pieņemt \(y\)).
Svarīgi!
Koeficients (parametrs) \(a\) nosaka zaru vērsumu:
  • ja \(a>0\), tad zari ir vērsti uz augšu;
  • ja \(a<0\), tad zari ir vērsti uz leju.
Koeficients \(c\) norāda, kurā punktā parabola krusto \(Oy\) asi.
Lai konstruētu kvadrātfunkcijas grafiku:
1. Aprēķina parabolas virsotnes koordinātas: x0=b2a un y0, kuru iegūst, x0 ievietojot funkcijā.
2. Atliek virsotni koordinātu plaknē, novelk parabolas simetrijas asi.
3. Nosaka parabolas zaru vērsumu: ja \(a>0\), tad zari ir vērsti uz augšu, ja \(a<0\), tad zari ir vērsti uz leju.
4. Atliek krustpunktu ar \(y\) asi (kur \(x\) ir \(0\) un \(y\) koordināta ir \(c\)).
5. Sastāda vērtību tabulu, izvēloties nepieciešamās argumenta \(x\) vērtības.
 
Atrisinot kvadrātvienādojumu ax2+bx+c=0, var iegūt krustpunktus ar \(Ox\) asi jeb funkcijas saknes, funkcijas nulles (ja tādas ir).
  • Ja diskriminants \(D>0\), tad ir divas saknes jeb divi krustpunkti ar \(x\) asi,
  • ja \(D<0\), tad krustpunktu ar \(x\) asi nav,
  • ja \(D=0\), tad parabolas virsotne atrodas uz \(x\) ass (parabola pieskaras \(x\) asij).
Taču ne vienmēr šie krustpunkti ar \(Ox\) asi ir racionāli skaitļi. Ja no diskriminanta \(D\) nevar izvilkt precīzu racionālu sakni, tad grafika konstruēšanai saknes nevarēs izmantot.
Piemērs:
1. Konstruē grafiku y=x22x1!
 
 Virsotnes koordinātas ir:
 
x0=b2a=221=1y0=12211=2
 
Zaru vērsums uz augšu, jo \(a=1, a>0\).
Grafiks \(Oy\) asi krusto punktā 0;1.
 
\(x\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(y\)
\(-1\)
\(2\)
\(7\)
 
Simetriski piezīmē parabolas kreiso pusi.
 
YCUZD_221110_4666_grafiks_teorija.svg
E(f)=2;+
Piemērs:
2. Nosaki kvadrātfunkcijas y=2x2+4x virsotnes koordinātas!
 
Redzam, ka šai funkcijai ir viegli aprēķināt saknes. Izmantosim to.
2x2+4x=0x(2x+4)=01)x=02)2x+4=0x=2x1=0;x2=2
 
Virsotnes koordinātas ir:
x0=b2a=422=1y0=212+41=2
 
Tabulā pietiek ar vienu vērtību:
ja \(x=3\), tad y=232+43=18+12=6
 
Simetriski, ja \(x=-1\), tad \(y\) = \(-6\)
 
Zaru vērsums uz leju, jo \(a=-2, a<0\).
Grafiks \(Oy\) asi krusto punktā 0;0.
 
YCUZD_221110_4666_grafiks_teorija_1.svg
E(f)=;2
Atbilde: Virsotnes koordinātas ir x0=1,y0=2.
Parabolas un paraboliskas trajektorijas ir visapkārt mums:
 
parabolas.png
 
Atsauce:
8th.creator / Shutterstock.com