Trigonometriskie pārveidojumi — teorija. Eksāmens un diagnosticējošais darbs matemātikā, Matemātika II (Augstākais līmenis).

Matemātika II - jauna tēma

"Atvasinājums un tā lietojums"

Skola2030 paraugā dotais sasniedzamais rezultāts: risina kompleksu matemātisku problēmu, sasaistot trigonometrijas un citu matemātikas apakšnozaru zināšanas.

Piemērs:

Aprēķini

\sin^{4} x + \cos^{4} x

, ja

\sin x + \cos x = c

Risinājums

\sin x + \cos x = c

abas puses kāpina kvadrātā, pielieto formulu

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

\begin{array}{l} {(\sin x + \cos x)}^{2} = c^{2} \\ \sin^{2} x + 2 \sin x \cdot \cos x + \cos^{2} x = c^{2} \\ 2 \sin x \cdot \cos x + 1 = c^{2} \\ \sin x \cdot \cos x = \frac{c^{2} - 1}{2} \end{array}

Šo rezultātu izmantosim tālāk.

1. variants tālākam risinājumam

\begin{array}{l} \sin^{4} α + \cos^{4} α = \\ = {(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{2} - 2 \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α = \\ = 1 - 2 \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α = \\ = 1 - 2 {(\frac{c^{2} - 1}{2})}^{2} = \\ = 1 - \frac{c^{4} - 2 c^{2} + 1}{2} = \\ = \frac{1 - c^{4} + 2 c^{2}}{2} \end{array}

2. variants tālākam risinājumam

\sin x + \cos x = c

kāpinām 4. pakāpē, izmantojam Ņūtona binoma izvirzījumu, koeficientus nolasām no Paskāla trijstūra 4. rindas (skat. zemāk)

\begin{array}{l} {(\sin x + \cos x)}^{4} = \\ = \sin^{4} x + 4 \sin^{3} x \cdot \cos x + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x + 4 \sin x {\cdot \cos}^{3} x + \cos^{4} x \end{array}

Tātad

\begin{array}{l} \sin^{4} x + 4 \sin^{3} x \cdot \cos x + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x + 4 \sin x {\cdot \cos}^{3} x + \cos^{4} x = c^{4} \\ \sin^{4} x + \cos^{4} x + \underline{4 \sin^{3} x \cdot \cos x + 4 \sin x {\cdot \cos}^{3} x} + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x = c^{4} \\ \sin^{4} x + \cos^{4} x + 4 \sin x \cos x (\sin^{2} x + \cos^{2} x) + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x = c^{4} \\ \sin^{4} x + \cos^{4} x + 4 \sin x \cos x \cdot 1 + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x = c^{4} \\ \sin^{4} x + \cos^{4} x = c^{4} - 4 \underline{\underline{\sin x \cos x}} - 6 {(\underline{\underline{\sin x \cdot \cos x}})}^{2} \end{array}

Iepriekš jau noskaidrojām, ka

\sin x \cdot \cos x = \frac{c^{2} - 1}{2}

Tātad

\sin^{4} x + \cos^{4} x = c^{4} - 4 \cdot \frac{c^{2} - 1}{2} - 6 \cdot {(\frac{c^{2} - 1}{2})}^{2}

Vienkāršosim labo pusi:

\begin{array}{l} c^{4} - \frac{4 (c^{2} - 1)}{2} - \frac{6 {(c^{2} - 1)}^{2}}{4} = \\ = \frac{2 c^{4}}{2} - \frac{4 (c^{2} - 1)}{2} - \frac{3 (c^{4} - 2 c^{2} + 1)}{2} = \\ = \frac{2 c^{4} - 4 c^{2} + 4 - 3 c^{4} + 6 c^{2} - 3}{2} = \\ = \frac{- c^{4} + 2 c^{2} + 1}{2} \end{array}

Atbilde:

\sin^{4} x + \cos^{4} x = \frac{1 - c^{4} + 2 c^{2}}{2}

Uzziņa

\begin{array}{l} {(a + b)}^{n} = \\ = C_{n}^{0} a^{n} b^{0} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + C_{n}^{n} a^{0} b^{n} \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

5. Trigonometriskie pārveidojumi

Teorija

Pamanīts reklāmas bloķētājs!