### Teorija

Ar Vjeta teorēmu var atrisināt kvadrātvienādojumu.
Parasti Vjeta teorēmu lieto reducētam kvadrātvienādojumam, t.i., ja koeficients $$a = 1$$.
${x}^{2}+\mathit{px}+q=0\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}⇒\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}\cdot {x}_{2}=q\\ {x}_{1}+{x}_{2}=-p\end{array}\right\$
Piemērs:
Nosaki saknes!
$\begin{array}{l}{x}^{2}-14x+40=0\\ \left\{\begin{array}{l}{x}_{1}\cdot {x}_{2}=40\\ {x}_{1}+{x}_{2}=14\end{array}\right\\\ {x}_{1}=10,\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{x}_{2}=4\end{array}$
Arī kvadrātvienādojumam, kurā $$a$$$\ne$$$1$$, ir spēkā Vjeta teorēma.

$\begin{array}{l}a{x}^{2}+\mathit{bx}+c=0\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left|:a\right\\ \\ \frac{a}{a}{x}^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}⇒\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{x}^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_{1}\cdot {x}_{2}=\frac{c}{a}\\ {x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a},\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathit{kur}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{x}_{1\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}}\mathit{un}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{x}_{2}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathit{ir}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathit{saknes}\end{array}\right\\end{array}$

Ja ar Vjeta teorēmu ir grūti uzminēt saknes, tās var rēķināt ar citām metodēm, bet ar Vjeta teorēmu var pārbaudīt, vai kvadrātvienādojuma saknes ir izrēķinātas pareizi.
Piemērs:
$\begin{array}{l}2{x}^{2}+0,8x-0,1=0\\ D={b}^{2}-4\mathit{ac}={0,8}^{2}-4\cdot 2\cdot \left(-0,1\right)=1,44\\ {x}_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-0,8+1,2}{2\cdot 2}=0,1\\ {x}_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-0,8-1,2}{2\cdot 2}=-0,5\end{array}$

Pārbaude ar Vjeta teorēmu:
$\begin{array}{l}2{x}^{2}+0,8x-0,1=0\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}|:2 \\ {x}^{2}+0,4x-0,05=0\\ \\ \left\{\begin{array}{l}0,1\cdot \left(-0,5\right)=-0,05\\ 0,1+\left(-0,5\right)=-0,4\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\end{array}\right\\end{array}$

Ja pilna sakņu pārbaude šķiet sarežģīta, tad vismaz vajag pārbaudīt sakņu zīmju pareizību. Šajā piemērā redzams, ka saknēm ir jābūt ar atšķirīgām zīmēm, jo $$c<0$$.
Izmantojot Vjeta teorēmu, var sastādīt kvadrātvienādojumu, ja ir zināmas tā saknes.
Piemērs:
Kāda kvadrātvienādojuma saknes ir $$5$$ un $$-3$$?

$\begin{array}{l}{x}^{2}+\mathit{px}+q=0\\ 5+\left(-3\right)=2\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}=-p\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left(p=-2\right)\\ 5\cdot \left(-3\right)=-15=q\\ \\ {x}^{2}-\mathit{2x}-15=0\end{array}$
Fransuā Vjets (1540 -1603) ir franču matemātiķis. Pēc izglītības - jurists.