Nevienādības ar substitūcijas metodi — teorija. Matemātika, 12. klase.

Viena no vienādojumu risināšanas metodēm ir substitūcijas metode. Risinot ar šo metodi, kādu vienādojuma daļu, kas satur nezināmo, aizvieto ar citu mainīgo.

Substitūcijas metodi var lietot arī nevienādību risināšanā.

Atrisināsim eksponentnevienādību

2^{2 x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 > 0

Ievieš jaunu mainīgo:

2^{x} = y

Iegūst nevienādību ar mainīgo \(y\)

y^{2} - 6 y + 8 > 0

Lai atrisinātu šo kvadrātnevienādību

1) atrisina kvadrātvienādojumu

y^{2} - 6 y + 8 = 0

\begin{array}{l} \{\begin{cases} y_{1} + y_{2} = 6 \\ y_{1} \cdot y_{2} = 8 \end{cases} \\ y_{1} = 2, y_{2} = 4 \end{array}

2) skicē parabolu un uzraksta kvadrātnevienādības atrisinājumu.

y < 2 vai y > 4

Svarīgi, ka šajā solī vēl neraksta atbildi ar intervālu.

Atgriežas pie apzīmējumiem un risina atbilstošās nevienādības:

\begin{array}{l} 2^{x} < 2 \\ 2^{x} < 2^{1} \\ x < 1 \end{array}

vai

\begin{array}{l} 2^{x} > 4 \\ 2^{x} > 2^{2} \\ x > 2 \end{array}

Uzraksta nevienādības atrisinājumu, kas ir abu nevienādību atrisinājumu apvienojums.

Atbilde:

x \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)

Risinot nevienādības, jāņem vērā nevienādībā iekļauto izteiksmju definīcijas apgabals.

Piemēram, nevienādībā

\log_{5}^{2} x + 2 \log_{5} x - 15 < 0

definīcijas apgabals ir

x > 0

Tāpat kā vienādojumos, arī nevienādības risinot ar substitūcijas metodi, var apzīmēt veselu izteiksmi.

Piemērs:

Nevienādībā

\frac{1}{lgx - 6} + \frac{5}{lgx + 12} > 0

, apzīmē

lgx - 6 = y

, kur

x > 0

Iegūst nevienādību, kuru, attiecībā pret mainīgo \(y,\) risina ar intervālu metodi.

\begin{array}{l} \frac{1}{y} + \frac{5}{y + 18} > 0 \\ \frac{6 y + 18}{y (y + 18)} > 0 \end{array}

Iepriekšējā tēma

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

1. Nevienādības ar substitūcijas metodi

Teorija