Logaritmisko nevienādību atrisināšana — teorija. Matemātika, 12. klase.

Svarīgi!

Pirms logaritmiskās nevienādības risināšanas obligāti jānosaka pieļaujamo vērtību kopa (definīcijas apgabals).

Risinot nevienādību, parasti rodas bezgalīgi daudz atrisinājumu, tāpēc tos nav iespējams pārbaudīt (kā vienādojumos).

Lai atrisinātu logaritmisko nevienādību, jācenšas to reducēt uz kādu no pamatformām:

\begin{array}{l} \log_{a} x > \log_{a} y \\ \log_{a} f (x) > \log_{a} g (x) (vai <; \leq; \geq) \end{array}

Pārejot no logaritmiskās pamatnevienādības uz algebrisku nevienādību, ir jānoskaidro, vai logaritma bāze

a > 1

vai

0 < a < 1

a > 1

, tad, nevienādības zīme algebriskajā nevienādībā ir tāda pati kā logaritmiskajā nevienādībā (1. piemērs).

0 < a < 1

, tad nevienādības zīme algebriskajā nevienādībā ir pretēja zīmei logaritmiskajā nevienādībā (2. piemērs).

Piemērs:

1. Jāatrisina logaritmiskā nevienādība

\log_{4} (2 x - 1) < \log_{4} (5 - x)

Atrisinājums.

Nosaka definīcijas apgabalu:

\{\begin{cases} 2 x - 1 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 x > 1 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0, 5 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (0, 5; 5)

Tā kā bāze

4 > 1

, tad funkcija ir augoša (nevienādības zīme nemainās).

\begin{array}{l} 2 x - 1 < 5 - x \\ 2 x + x < 5 + 1 \\ 3 x < 6 \\ x < 2 \end{array}

Aplūko atrisinājumu kopā ar definīcijas apgabalu:

Atbilde:

(0,5; 2)

Piemērs:

2. Dota logaritmiskā nevienādība

\log_{0,5} (2 x - 3) \geq 1

Atrisinājums.

Nosaka definīcijas apgabalu:

\begin{array}{l} 2 x - 3 > 0 \\ 2 x > 3 \\ x > 1,5 \\ x \in (1,5; + \infty) \end{array}

Tā kā bāze

0 < 0,5 < 1

, tad funkcija ir dilstoša (nevienādības zīme mainās uz pretējo).

\begin{array}{l} 2 x - 3 \leq {0,5}^{1} \\ 2 x - 3 \leq 0,5 \\ 2 x \leq 3,5 \\ x \leq 1,75 \end{array}

Aplūko atrisinājumu kopā ar definīcijas apgabalu:

Atbilde:

(1,5; 1,75]

Atsauce:

Algebra 10.-12.klasei Vitanda Sakse. - Rīga : Pētergailis, 1999. - 94 lpp. :il. - izmantotā literatūra: 79.lpp.

Atradi kļūdu?

2. Logaritmisko nevienādību atrisināšana