Faktoriāls — teorija. Matemātika, 11. klase.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

Pielietojot reizināšanas likumu, bieži vien nākas aprēķināt reizinājumus, kuros ir sareizināti pēc kārtas sekojoši naturālie skaitļi, sākot ar \(1\). Piemēram,

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7

utt.

Ne vienmēr ir svarīgi noteikt reizinājuma skaitlisko iznākumu. Lai varētu īsāk pierakstīt šāda veida izteiksmes, matemātikā tiek lietots simbols "!".

Visu naturālo skaitļu no 1 līdz n reizinājumu sauc par skaitļa \(n\) faktoriālu un apzīmē

n!

(lasa: "en" faktoriāls):"

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n

Pieņemts, ka \(0! = 1\)

1! = 1

2! = 2 \cdot 1 = 2

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Faktoriālu var salīdzināt ar dzijas kamoliņu - pati pirmā kārta ir skaitlis \(1\), tad seko \(2\), tad seko \(3\), utt...

svarīgi ir prast šo "kamoliņu attīt vaļā" līdz vajadzīgajai vietai.

Piemēram, cik ir

\frac{22!}{20!} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20!}{20!} = 22 \cdot 21 = 462

Var tikai iedomāties, kādu laiku prasītu abu faktoriālu aprēķināšana un dalīšana :).

Piemērs:

1. Aprēķināt izteiksmes vērtību!

5! + 4! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 + 24 = 144

\frac{7! - 5!}{4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! - 5 \cdot 4!}{4!} = \frac{5 \cdot 4! (42 - 1)}{4!} = 5 \cdot 41 = 205

(\(4!\) iznes pirms iekavām. Daļā vienādos faktoriālus drīkst saīsināt).

\frac{80!}{79!} + \frac{59!}{58!} = \frac{80 \cdot 79!}{79!} + \frac{59 \cdot 58!}{58!} = 80 + 59 = 139

Katru augstāko faktoriālu var izteikt ar zemāko faktoriālu, t.i .,
\(n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = n(n-1)(n-2)(n-3)!\) utt.

Piemērs:

2. Saīsināt daļu!

\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = (n + 1) n

3. Vienkāršot izteiksmi!

\frac{n + 2}{(n - 1)!} - \frac{2 n + 3}{n!} = \frac{n + 2^{\ n}}{(n - 1)!} - \frac{2 n + 3}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} + 2 n - 2 n - 3}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} - 3}{n!}

Svarīgi!

Palielinoties \(n\) vērtībai, \(n!\) vērtība strauji palielinās. Faktoriāla simbolu ērti lietot, ja jāpieraksta lieli skaitļi.

Piemērs:

Cik dažādos veidos var sastādīt skolēnu sarakstu, kurā ir \(25\) dažādi skolēni?

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 24 \cdot 25 = 25!

Atbilde: Skolēnu sarakstu var sastādīt \(25!\) dažādos veidos!

Uzdevumi.lv iesaka Mācību video: "Faktoriāls - tas ir vienkārši :)"

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

3. Faktoriāls

Teorija