4.
jūnijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9. KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Virkni, kurā katru nākamo locekli iegūst, ja iepriekšējam pieskaita vienu un to pašu skaitli (diferenci \(d\)), sauc par aritmētisko progresiju
Aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula ir an=a1+n1d.
Ja izvēlas trīs secīgus virknes locekļus, ir patiesa īpašība:
an=an1+an+12
Piemērs:
Ja dota aritmētiskā progresija \(2\); \(6\); \(10\); \(14\); \(18\); ...., redzam:
6=2+10214=10+182
utt. 
Aritmētiskās progresijas pirmo \(n\) locekļu summa ir
Sn=a1+ann2
Piemērs:
Taisnleņķa trijstūra īsākā katete ir \(6\ \mathrm{cm}\). Aprēķini pārējo malu garumus, ja zināms, ka šī trijstūra malu garumi veido aritmētisko progresiju.

Risinājums:
Ja \(d\) ir aritmētiskās progresijas diference, tad malu garumus var izteikt šādi:
\(b = 6\)
\(a = 6 + d\)
\(c = 6 + 2d\)
 
Taisnleņķa trijstūrim izpildās Pitagora teorēma:
c2=a2+b26+2d2=6+d2+6236+24d+4d2=36+12d+d2+363d2+12d36=0d2+4d12=0d1=2d2=6(neder)

Ja diference ir \(d = 2\), tad \(a = 8\) \(\mathrm{cm}\); \(c = 10\) \(\mathrm{cm}\).
(Diference nevar būt negatīva, jo tad hipotenūzas garums būtu negatīvs lielums)

Atbilde: Trijstūra malu garumi ir \(6\) \(\mathrm{cm}\); \(8\) \(\mathrm{cm}\); \(10\) \(\mathrm{cm}\).
  
Piemērs:
Ķermenis brīvā kritiena pirmajā sekundē veic \(4,9\) \(\mathrm{m}\), bet katrā nākamā par \(9,8\) \(\mathrm{m}\) vairāk. Aprēķini šahtas dziļumu, ja tas sasniedz tās apakšu pēc \(5\) sekundēm.

Risinājums:
Pirmais loceklis \(a_1 = 4,9\) \(\mathrm{m}\), diference \(d = 9,8\) \(\mathrm{m}\), locekļu skaits \(n = 5\).

Šahtas dziļums ir katrā no piecām sekundēm veikto attālumu summa.
 
Vispirms jāaprēķina virknes pēdējais loceklis:
a5=4,9+519,8=44,1S5=a1+a552=4,9+44,152=122,5m

Atbilde:
Šahtas dziļums ir \(122,5\) metri.
 
Vienkāršus uzdevumus par aritmētisko progresiju vari vingrināties 8. klases tēmā Virknes. Aritmētiskā progresija.
Formulas var atrast matemātikas eksāmena formulu lapā: formulas