Teorija

Kongruences jēdzienu lieto skaitļu teorijā, mācībā par veselo skaitļu īpašībām.
Ja divi skaitļi \(a\) un \(b\), dalot ar \(m\), dod vienādus atlikumus, tad saka, ka šie skaitļi ir kongruenti attiecībā pret moduli \(m\) jeb kongruenti pēc moduļa \(m\). Raksta ab(modm), m2.
Apskatīsim atlikumus, ko iegūst, dalot dažādus veselus skaitļus ar \(4\).
\(0=4·0+0\)
\(1=4·0+1\)
\(2=4·0+2\)
\(3=4·0+3\)
 
\(4=4·1+0\)
\(5=4·1+1\)
\(6=4·1+2\)
\(7=4·1+3\)
 
\(8=4·2+0\)
\(9=4·2+1\)
\(10=4·2+2\)
\(11=4·2+3\)
Var ievērot, ka dalot ar \(4\), atlikums var būt tikai \(0; 1; 2; 3.\)
Iepazīsimies ar dažiem skaitļiem, kurus dalot ar \(4\) iegūst vienādus atlikumus. Tā piemēram, atlikums \(2\) ir, ja ar \(4\) dala skaitļus \(2; 6; 10\).
 
Skaitļi \(2\); \(6\) un \(10\) dalot ar \(4\), dod vienādus atlikumus, tātad šie skaitļi ir kongruenti attiecībā pret moduli \(4\) jeb kongruenti pēc moduļa \(4\). Raksta 2610(mod4).
 
Daudzus aprēķinus veikt ir ievērojami vienkāršāk, ja izmanto kongruenču īpašības.
 
Kongruenču īpašības
 
1. Ja \(a\) dalot ar \(m\) dod atlikumu \(r\), tad armodm.
 
2. Ja ab(modm), tad kakb(modm), kur \(k\) ir jebkurš vesels skaitlis.
 
3. Ja ab(modm), tad anbn(modm), kur \(n\) ir jebkurš naturāls skaitlis.
 
4. Ja ab(modm) un cd(modm), tad
a+cb+d(modm)
acbd(modm)
acbd(modm)
 
5. Visiem veseliem skaitļiem \(a\) izpildās kongruence aa(modm) (refleksivitāte).
 
6. Ja ab(modm), tad ba(modm) (simetrija).
 
7. Ja ab(modm) un bc(modm), tad ac(modm) (transitivitāte).
 
Piemērs:
Kādu atlikumu var iegūt, vesela skaitļa kvadrātu dalot ar 4?
  
Atrisinājums.
Iepriekš noskaidrojām, ka veselu skaitli n, dalot ar 4, var iegūt atlikumu 0; 1; 2 vai 3
Izmantosim 3. īpašību.
n0(mod4)n2020(mod4)n1(mod4)n2121(mod4)n2(mod4)n22240(mod4)n3(mod4)n23291(mod4)
 
Tātad vesela skaitļa kvadrātu, dalot ar \(4\), var iegūt atlikumu \(0\) vai \(1\).
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja