Teorija

Bieži vien, lai pārbaudītu skaitļu kongruenci pēc kāda moduļa, ir ērti lietot tālāk doto teorēmu.
Teorēma.  abmodm tad un tikai tad, ja starpība \(a - b\) dalās ar \(m\).
Piemēri.
1) 73mod4, jo starpība \(7-3\) dalās ar \(4\).
 
2)  Ja starpība \(-3-85=-88\) dalās ar \(4\), tad 385mod4.
 
Pierādīsim tiešo un apgriezto teorēmu.
Tiešā teorēma. Ja abmodm, tad starpība \(a - b\) dalās ar \(m\).
Pierādījums.
Fakts, ka abmodm, norāda, ka skaitļus \(a\) un \(b\) dalot ar \(m\) iegūst vienu un to pašu atlikumu \(r\), t. i., a=mq+r, b=mq1+r, kur  \(q\) un q1 ir veseli skaitļi.
 
Atrod starpību ab=mqq1.
 
Tā kā qq1 ir vesels skaitlis, tad \(a-b\) ir \(m\) daudzkārtnis un \(a-b\) dalās ar \(m\).
Apgrieztā teorēma. Ja divu skaitļu \(a\) un \(b\) starpība \(a - b\) dalās ar \(m\), tad abmodm.
Pierādījums.
Tā kā dots, ka \(a-b\) dalās ar \(m\), tad tas nozīmē, ka \(a-b\) ir \(m\) daudzkārtnis, t. i., \(a-b=mk\), kur \(k\) ir vesels skaitlis.
Pierādīsim, ka, \(a\) un \(b\) dalot ar \(m\), iegūst vienu un to pašu atlikumu.
 
Pieņemsim, ka, \(b\) dalot ar \(m\), iegūst atlikumu \(r\), t. i., \(b=mq+r\), kur 0r<m.
 
Saskaita vienādības
ab=mkb=mq+r¯a=m(k+q)+r
 
Zināms, ka \(k+q\) ir vesels skaitlis.
 
Pēc teorēmas par nepilnā dalījuma viennozīmīgumu ( ja dots skaitlis \(a\) un naturāls skaitlis \(m\), tad nepilnais dalījums \(q\) un atlikums \(r\) ir noteikti viennozīmīgi), no iegūtās sakarības var secināt, ka \(r\) ir atlikums, ja \(a\) dala ar \(m\).
Tātad dalot \(a\) ar \(m\), iegūst to pašu atlikumu, kādu iegūst, dalot \(b\) ar \(m\).
Tāpēc abmodm.
 
 
Atsauce:
E. Detlova, H. Graudone, P. Zariņš. Matemātika 7.-8.klasei. Fakultatīvs kurss.. Zvaigzne 1973.
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja